Modélisation des Machines fictives

La Transformée de Fourier discrète : outil pour la caractérisation des Machines fictives Classiquement, les machines fictives sont mises en évidence `a l’aide d’une représentation vectorielle des grandeurs de phase (cf. Chapitre I). Ce choix impose de représenter l’application linéaire décrivant le couplage des phases par une matrice. A elle seule, cette matrice contient les deux propriétés autorisant la décomposition multimachine : la symétrie et la circularité. Et, finalement, ces deux propriétés impliquent que la matrice d’inductance contient au maximum un nombre de termes distincts égal au nombre de machines fictives (c’est-`a-dire égal au nombre d’espaces propres de l’application linéaire qui la définit). En d’autres termes, le nombre de coefficients utiles dans la matrice d’inductance est égal au nombre de machines fictives. Ainsi, la matrice d’inductance répète plusieurs fois la même information. Or, de manière générale, pour faciliter une procédure d’optimisation, il est judicieux de travailler avec la juste quantité d’informations. C’est pourquoi, dans cette partie, une présentation alternative de la décomposition multimachine est proposée. Elle est basée sur l’utilisation d’un outil très utilisé en traitement numérique du signal : la Transformée de Fourier discrète (TFD). Dans le domaine du traitement d’images et de la compression de données, il apparaît que la matrice de Fortescue est appelée matrice de Transformée de Fourier discrète : elle est utilisée pour calculer la TFD d’un vecteur dont les composantes correspondent aux échantillons d’un signal discret ou discrétisé. La première sous-partie examine l’analogie formelle existant entre les matrices de découplage d’un système symétrique circulant et la Transformée de Fourier discrète. La deuxième sous-partie tire profit de cette analogie en proposant de considérer les composantes des vecteurs comme les éléments d’une suite périodique : ils sont alors vus comme les échantillons régulièrement prélevés d’un signal continu. Cette approche permet de condenser le lien existant entre les flux, les inductances mutuelles et les courants de phase. La troisième sous-partie montre que les propriétés de découplage et de conservation d’énergie de la TFD permettent une caractérisation originale des machines fictives. III.1.1 Des matrices de changement de base vers la Transformée de Fourier discrète Cette sous-partie examine l’analogie formelle existant entre l’expression des composantes d’un vecteur quelconque dans les bases de découplage (Fortescue et Concordia) et la Transformée de Fourier discrète d’une suite constituée des composantes du vecteur dans la base naturelle. Une nouvelle lecture des composantes de Fortescue et Concordia apparaît alors : cette caractérisation sera illustrée au travers d’un exemple simple.

Matrice de Fortescue et Transformée de Fourier discrète

D’après les résultats établis dans le chapitre I, les composantes xk,f d’un vecteur quelconque −→ x N dans la base de Fortescue en fonction de ses composantes xn dans la base naturelle sont : xk,f = 1 √ N N X−1 n=0 xne −j 2π N nk La composante xk,f apparaˆıt formellement comme la Transformée de Fourier discrète de la suite N-périodique dont le terme numéro n est xn. En effet, la Transformée de Fourier discrète est un opérateur bijectif qui agit sur l’ensemble des suites N-périodiques `a valeur complexe [3], noté S N (C). S N (C) = {(un)n∈Z, un+N = un ∈ C} L’opérateur de TFD se définit comme suit1 : FN : S N (C) → S N (C) (un)n∈Z 7→ (Uk)k∈Z Uk = 1 √ N N X−1 n=0 une −j 2π N nk (III.1) Quant `a l’opérateur réciproque, la TFD inverse, il se définit de la manière suivante : F −1 N : S N (C) → S N (C) (Uk)k∈Z 7→ (un)n∈Z un = 1 √ N N X−1 k=0 Uke j 2π N nk En traitement numérique du signal, (un)n∈Z correspond aux échantillons régulièrement prélevés d’un signal périodique u(t) sur une période. Le terme k de la suite (Uk)k∈Z correspond alors au coefficient de Fourier de rang k du signal discret (un)n∈Z. L’analogie formelle constatée incite `a définir une relation de correspondance entre l’espace vectoriel hermitien EN et l’ensemble des suites N-périodiques S N (C) : EN ←→ S N (C) ( −→ x N )NN =   x0 . . . xn . . . xN−1   (xn)n∈Z Dans ce contexte, multiplier un vecteur `a droite par la transposée de la matrice de Fortescue F T N revient `a calculer une TFD sur la suite définie par le vecteur. III.1.1.2 Matrice de Concordia et Transformée de Fourier discrète réelle Appliqué `a un vecteur écrit dans la base naturelle, donc `a composantes réelles, le changement de base de Fortescue aboutit `a un vecteur `a composantes complexes. Par contre, le changement de base de Concordia permet d’obtenir un vecteur `a composantes réelles. Comme les grandeurs de phases sont des nombres réels, les suites correspondantes (un)n∈Z sont réelles. 1En fait, il existe plusieurs définitions qui dépendent de la valeur du terme constant placé devant la somme : ici, c’est 1/ √ N qui est choisi pour concorder avec la définition adoptée pour la matrice de Fortescue (pour celle-ci, le facteur 1/ √ N a été introduit pour la normaliser). III.1. LA TRANSFORMEE DE ´ FOURIER DISCRETE : OUTIL POUR LA ` CARACTERISATION DES MACHINES FICTIVES ´ 95 Leurs transformées répondent donc `a la propriété de symétrie hermitienne décrites ci-dessous : cette propriété concerne les suites N-périodiques `a valeurs réelles, qui appartiennent `a un ensemble noté S N (R) : ∀(un)n∈Z ∈ S N (R) (U−k)k∈Z = (Uk) ∗ k∈Z (III.2) Cette propriété met en évidence que le calcul de la moitié des TFD est suffisant pour totalement caractériser la suite (Uk)k∈Z. Pratiquement, calculer la moitié des TFD revient `a évaluer N/2 grandeurs complexes, c’est-`a-dire N grandeurs réelles (N/2 parties réelles et N/2 parties imaginaires). Pour mettre en évidence cette propriété, un nouvel opérateur est défini : la Transformée de Fourier discrète réelle (TFDr). La Transformée de Fourier discrète réelle opère sur l’ensemble des suites N-périodiques `a coefficients réels S N (R). Elle est notée comme suit : C N : S N (R) → S N (R) (un)n∈Z 7→ (U c k )k∈Z Le calcul des termes de la suite (U c k )k∈Z s’effectue `a partir du calcul des N/2 premiers termes de (Uk)k∈Z : k ∈  0, N 2  ∩ N U c k = Uk ∀k ∈ h 1.. N−2+mod(N,2) 2 i    U c k = r 2 N N X−1 n=0 un cos  2π N nk = √ 2<(Uk) | {z } car un∈R U c N−k = r 2 N N X−1 n=0 un sin  2π N nk = √ 2=(Uk) | {z } car un∈R (III.3) L’intérˆet de la Transformée de Fourier discrète réelle réside dans le fait qu’elle transforme une grandeur réelle en une autre grandeur réelle. Elle est définie de telle sorte `a obtenir l’analogie suivante : multiplier un vecteur `a droite par la transposée de la matrice de Concordia C T N équivaut `a calculer la TFD réelle sur la suite définie par le vecteur.