Modélisation de structures élancées en grandes transformations

 Stabilité et non-linéarités géométriques

Une définition simple et intéressante de la stabilité est donnée par le Trésor de la langue française, en la précisant comme le « caractère de ce qui reste en place, sans bouger ni tomber ». En termes plus rigoureux, la stabilité a été définie sur un critère dynamique par [Lyapunov, 1892], énoncé de la manière suivante :  Une position d’équilibre est stable si et seulement si une petite perturbation quelconque de position ou vitesse initiale donne un mouvement perturbé qui reste toujours proche de la position d’équilibre.

Cette définition étant difficile à utiliser, de nombreux auteurs ont cherché à établir un critère de stabilité d’emploi plus simple. Pour un système conservatif (celui qui nous intéresse), le critère adopté est appelé critère de l’énergie : Théorème 2 Une condition nécessaire et suffisante de stabilité d’une position d’équilibre d’un système conservatif est que l’énergie potentielle totale du système présente un minimum local en cette position. Dans ce travail, le terme générique de flambage est utilisé pour désigner la perte de stabilité d’une structure sous chargement.

Les effets du flambage sont principalement géométriques, c’est-à-dire, de grands déplacements induisant un changement de la forme initiale de la structure peuvent avoir lieu. La charge à laquelle survient cette transformation de la configuration initiale est appelée charge de flambage ou charge critique. L’analyse des branches d’équilibre après flambage est connue comme postflambage. Dans le cas général, l’étude du flambage et du postflambage est un problème compliqué.

Le plus souvent, même pour des systèmes mécaniques simples, les équations du mouvement qui dépendent de la configuration déformée du système sont non linéaires et il est pratiquement impossible de calculer d’une manière explicite les mouvements perturbés. Une méthode approchée pour déterminer la charge de flambage d’une structure est basée sur le fait que les mouvements perturbés peuvent a priori rester petits autour de la configuration d’équilibre.

Cette hypothèse de petites perturbations (HPP) conduit à remplacer l’équation d’équilibre réelle par son expression linéarisée autour de la position d’équilibre, au moins lorsque cette linéarisation est possible. Cette analyse est connue comme flambage linéarisé ou flambage élastique.