Modélisation de la roue dessicante

 Principes de modélisation

 Un modèle  peut  être obtenu  par  une  approche  de  type  boîte blanche, boîte noire ou boîte grise ȋ(uang et al. ʹͲͲ͸; Tashtoush et al. ʹͲͲͷ; Wang et Xiao ʹͲͲͶȌ. Les modèles  de  type  boîte blanche  ȋou les  modèles  de  connaissancesȌ  sont fondées  sur des  considérations  théoriques ,on les trouve généralement dans les logiciels de simulation  pour  les bâtiments tels que TRNSYS ȋMurray et al. ʹͲͲͻȌ.  Ces  modèles donnent une réponse précise et fiable si leurs paramètres sont parfaitement connus ȋNia ʹͲͳͳȌ. Mais pour des phénomènes complexes, il est difficile de construire un modèle de type boîte blanche en utilisant l’ajustement des paramètres en fonction de mesures in situ. Les modèles de type boîte noire représentent des relations entre les entrées et les sorties établies en utilisant une méthode de minimisation de l’erreur de prédiction ; ils sont généralement utilisés dans des applications pratiques de contrôle. L’avantage de ces modèles est que les paramètres sont ajustables en fonction des mesures expérimentales, mais l’inconvénient est l’absence de signification physique des paramètres qui fait que le modèle n’est pas valable au delà des conditions pour lesquelles les paramètres ont été identifiés Les modèles boîte grise ont la structure et certains des paramètres obtenus à partir de lois physiques et le reste des paramètres est obtenu à partir des expériences. Une approche de type boîte grise réduit le nombre de paramètres à identifier parce que, d’une part, elle révèle les paramètres indépendants et leurs interrelations et, d’autre part, elle met en évidence les paramètres qui ont des valeurs dérivées de considérations physiques. Les équations qui décrivent les phénomènes de transfert de masse et d’énergie dans la roue dessicante sont non‐linéaires. Pour des petites variations des entrées, ces équations peuvent être linéarisées. Les modèles linéaires continus peuvent être représentés dans le domaine temporel par des équations différentielles linéaires, ou dans le domaine des fréquences, par des fonctions de transfert.  Un modèle linéaire avec n entrées et une sortie peut être donné sous la forme : nn y     x   x  …  o‘ y est la sortie, n x , x ,…, x 1 2 sont les entrées,     n , ,…, 1 2 sont les paramètres. Pour déterminer les paramètres   n , ,…, 1 2 de l’équation ȋ͵.ͳȌ on a besoin de faire au moins n expériences.(3.2) o‘ yi ,i  1,…, n sont les n mesures de la sortie et xi1 ,…, xin ,i  1,…, n sont les n mesures des entrées n x ,…, x 1 . En notant   T n T y  y  1 y le vecteur des n mesures de la sortie,   T n T x x 1  11  1 a le vecteur des n mesures de l’entrée 1 x ,   T n T x x 2  12  2 a le vecteur des n mesures de l’entrée 2 x , … ,   T n nn T n x  x  1 a le vecteur des n mesures de l’entrée n x , et   T T 1 1 a0   le vecteur des n constantes égales à 1, le système d’équations ȋ͵.ʹȌ peut s’écrire sous forme matricielle : y  AC  θ (3.3) o‘ [ … ] T n T AC  a1 a est la matrice d’information et T n [ … ] θ  1  est le vecteur des paramètres à identifier. Quand le nombre d’expériences ȋc. à d. le nombre de lignes de la matrice AC Ȍ est plus grand que le nombre des paramètresθ , la matrice AC est en général non inversible. C’est le cas quand les résultats des expériences ne vérifient pas exactement l’équation ȋ͵.͵Ȍ à cause des erreurs de mesure ou éventuellement du caractère incomplet du modèle. Pour prendre en compte ces erreurs, un terme d’erreur e est alors ajouté à l’équation ȋ͵.͵Ȍ : y  A θ  ou : e  yˆ  y (3.5) o‘ yˆ est la valeur de la sortie calculée par le modèle, yˆ  AC  θ , et y est la valeur de la sortie obtenue expérimentalement. Les paramètres estimés θ ˆ de l’équation ȋ͵.͵Ȍ sont obtenus en minimisant de la somme des carrés des erreurs entre la prédiction du modèle yˆ et les valeurs mesurées de la sortie y : θ  e e T Ε )( (3.6) o‘ e  y  AC θ est le vecteur d’erreur produit par un choix spécifique du vecteur des paramètresθ . Si C T AC  A est non singulière, les paramètres estimés θ ˆ sont uniques et donnés par : θ    A  A  A  y  T C C T C 1 ˆ (3.7) 3.1.1 Modèles de type boîte noire Un modèle dynamique linéaire de type boîte noire peut être exprimé sous la forme de fonctions de transfert ou dans l’espace d’état. Les fonctions de transfert ont la forme générale : )( )( )( X s Y s H s  (3.8) o‘ H est la fonction de transfert d’un système linéaire avec des paramètres constants, X est la transformée de Laplace associées à des conditions initiales nulles de l’entrée, Y est la transformée de Laplace associée à des conditions initiales nulles de la sortie, et s est la variable de Laplace.  Les fonctions de transfert sont largement utilisées dans le domaine de l’analyse et du contrôle des systèmes à une entrée et à une sortie. La méthode des fonctions de transfert est plutôt avantageuse pour les études dans le domaine fréquentiel, l’analyse de stabilité et le contrôle des systèmes en boucle fermée ȋPetrausch et Rabenstein ʹͲͲͷȌ. La représentation dans l’espace d’état quant à elle se présente comme une alternative aux fonctions de transfert. L’avantage de cette méthode par rapport aux fonctions de transfert est la facilité du passage entre les modèles S)SO ȋune seule entrée et à une seule sortieȌ, aux modèles M)MO ȋplusieurs entrées et à plusieurs sortiesȌ ȋSchmid ʹͲͲͷȌ. Dans une représentation d’état, le système est décrit par deux équations, dont une détermine l’état du système et l’autre détermine la valeur de sortie du système ȋRomero et al. ʹͲͳͳȌ. Supposons un système avec le vecteur des entrées u t)( et avec le vecteur des sorties y t)( . L’état du système est donné par la première dérivée du vecteur des variables d’état, notée x t)( , qui dépend de l’état actuel du système et de l’entrée actuelle. La forme générale de cette présentation est alors : x t)(  Ax t)( Bu t)( y t)(  Cx t)(  Du t)( (3.9) o‘ x est la variable d’état, A est la matrice du système qui montre comment l’état actuel x t)( affecte le changement de l’état x t)( , B est la matrice de contrôle qui détermine l’effet des entrées du système sur le changement d’état, C est la matrice de sortie qui donne la relation entre l’état du système et sa sortie, D est la matrice de connexion directe qui montre comment l’entrée du système influence directement la sortie ou la réponse du système étudié. 

Modèles de type boîte grise

Un modèle de type boîte grise est un modèle mathématique qui s’appuie sur des connaissances physiques afin de déterminer certains de ses paramètres tandis que d’autres sont obtenus par identification en utilisant des données expérimentales. Pour un système linéaire représenté par un modèle continu et en considérant que le bruit est négligeable, un modèle de type boîte grise peut être alors exprimé par le système d’équations différentielles du premier ordre suivant :  Ts est le temps d’échantillonnage, F et G sont des matrices qui résultent de A etB , respectivement, par la discrétisation du modèle d’état continu. Nous nous concentrons uniquement sur la roue dessicante. Son modèle pour un coté ȋdessiccation ou régénérationȌ a deux entrées ȋtempérature et humiditéȌ et deux sorties ȋtempérature et humiditéȌ ; il peut être exprimé par un système d’équations dans l’espace d’état.

Modèle de la roue dessicante

 Hypothèses

La Figure ͵.ͳ montre la roue dessicante qui est un cylindre circulaire de profondeur L et de rayon r . Cette roue est constituée de canaux contenant un gel de silice, qui est un matériau dessicant ȋFigure ͵.ͳbȌ. La roue dessicante tourne continuellement autour de son axe ; lors d’une rotation complète, chaque canal de la roue passe successivement du côté dessiccation ȋadsorption‐dessiccationȌ et du côté régénération ȋdésorption‐ régénérationȌ ȋFigure ͵.ͳaȌ.