Modélisation de la diffusion par les aérosols dans le modèle de climat global

Notions théoriques

Ce chapitre fait appel à deux notions principales : la description d’une population de particules de tailles variables d’une part, et la description de la diffusion du rayonnement par cette population d’autre part. 

Les distributions en taille

Soit R la variable aléatoire continue correspondant au rayon des aérosols et pouvant prendre des valeurs r positives et réelles. Dans chaque parcelle de l’atmosphère, il existe 17 Chapitre 2. Modélisation de la diffusion par les aérosols dans le modèle de climat global une certaine probabilité P de trouver un aérosol de rayon inférieur ou égal à une valeur r . Cette probabilité est appelée fonction de distribution probabilité de trouver un aérosol de rayon compris dans l’intervalle (r ,r + dr ) est la dérivée par rapport à r de cette fonction de distribution. Cette dérivée est appelée densité de probabilité , et se note dN/dr = n(r ) (Dagnelie, 1998).

Cette densité de probabilité  n(r ) permet de décrire de façon analytique la part des aérosols contenue dans chaque gamme de rayons2 . Il existe de nombreuses fonctions de densité de probabilité pouvant décrire la distribution en taille des aérosols : fonction gamma, gamma modifiée, log-normale, lognormale bimodale, loi de puissance. . . Seules les fonctions log-normale et gamma seront utilisées dans cette étude. La fonction log-normale Point sur . . . . . . .La fonction log-normale est très utilisée car elle présente des propriétés analytiques pratiques, que nous résumons ici.

La distribution log-normale correspond simplement à une distribution pour laquelle le logarithme des rayons suit une distribution normale (une gaussienne). Sa densité de probabilité s’écrit donc : n(r ) = 1 p 2π σ0 r exp· − 1 2 µ ln(r /r0) σ0 ¶2 ¸ , (2.2) où r0 et σ0 sont la moyenne et l’écart-type de la distribution. Plusieurs écritures peuvent être trouvées dans la littérature, en fonction par exemple du rayon moyen géométrique rg  et de l’écart-type géométrique σg , avec r0 = rg et σ0 = lnσg (voir par  exemple Mishchenko et al., 2002). Point sur . . . . . . .

Cependant, en transfert de rayonnement, ce sont toujours le rayon effectif et la variance effective qui sont utilisés. Ils correspondent à la moyenne et à la variance classiques, pondérés par la section de l’aérosol. En effet, l’efficacité de l’aérosol à diffuser le rayonnement dépend de sa section, d’où les noms de rayon et variance effectifs. Ces deux quantités s’écrivent donc :    reff = 1 R∞ 0 r π r 2n(r ) dr νeff = 1 r 2 eff R∞ 0 (r −reff) 2 π r 2n(r ) dr , où < G > = Z∞ 0 π r 2n(r ) dr. (2.3) Notons que si la moyenne et la variance correspondent aux deux premiers moments de la distribution, il n’en est pas de même du rayon effectif et de la variance effective, qui s’expriment en fonction des différents moments < r n > de la façon suivante :    reff = νeff = 2 −1 , où < r n > = Z∞ 0 r nn(r )dr. (2.4) 2Notons que nous avons toutes les chances de trouver un aérosol de n’importe quel rayon ! Et donc R∞ 0 n(r )dr = 1. 

Notions théoriques

Il est possible de démontrer que les différents moments de la distribution log-normale s’écrivent : < r n > = r n 0 expà n 2σ 2 0 2 ! , (2.5) ce qui permet d’exprimer reff et νeff en fonction de r0 et σ0 en récrivant l’équation 2.4 :    reff = r0 exp¡ 5 2 σ 2 0 ¢ νeff = exp¡ σ 2 0 ¢ −1 , et inversement    r0 = reff /(1+νeff) 5/2 σ 2 0 = ln(1+νeff) . (2.6) Deux exemples de distribution log-normale sont représentés en noir sur la figure 2.1, pour un rayon effectif de 1 µm et une variance effective de 0.1 (pointillés) et 0.3 (trait plein).

Une dernière propriété de la fonction log-normale que nous utiliserons dans la partie 2.4 est la possibilité de l’intégrer de façon exacte, en utilisant sa fonction de distribution : N(r ) = P(R ≤ r ) = Zr 0 n(r )dr = 1 2 · 1+erfµ ln(r /r0) σ0 p 2 ¶¸, (2.7) où erf est la fonction d’erreur : erf (x) = 2 p π Zx 0 e −ξ 2 dξ. (2.8) Notamment, cette fonction de distribution permet d’intégrer numériquement le produit de la fonction n(r ) et d’une autre fonction f (r ) sur un intervalle de rayon (r1,rn) donné.

Il faut pour cela discrétiser la variable des rayons en un nombre fini de valeurs ri , calculer les coefficients de pondération wi en intégrant n(r ) sur chaque intervalle [ri−1/2, ri+1/2] : wi = Zri+1/2 ri−1/2 n(r )dr = Zri+1/2 0 n(r )dr − Zri−1/2 0 n(r )dr = P(R ≤ ri+1/2)−P(R ≤ ri−1/2) = 1 2 · erfµ ln(ri+1/2/r0) σ0 p 2 ¶ −erfµ ln(ri−1/2/r0) σ0 p 2 ¶¸, (2.9) puis sommer le produit des deux fonctions sur l’intervalle (r1,rn) considéré : Zrn r1 f (r ) n(r ) dr = Xn i=1 f (ri)wi . (2.10) Cette méthode permet notamment de calculer les paramètres de diffusion simple intégrés pour une population de particules suivant une fonction log-normale∗ .