Modélisation de la contagion à l’aide de processus ponctuels marqués

 INTRODUCTION

Giesecke et Kim (2011) ont développé un générateur de données qui permet d’obtenir la date de défaut d’un portefeuille de crédit. Ce générateur est basé sur la méthode d’amincissement aléatoire appelé schéma de rééchantillonnage de type acceptation/rejet. Quant à Nakagawa (2010a, 2010b), il a proposé le modèle d’intensité de variation de la note de crédit dans le cadre de l’approche top-down, tandis que Giesecke et al. (2011) et Giesecke et Kim (2011) se sont concentrés sur le modèle d’intensité de défaut de paiement. Nakagawa (2010a) a proposé le modèle d’intensité self-exciting pour le défaut de paiement mais aussi pour le changement de notation (hausse ou baisse de la note de crédit).

Nakagawa (2010a) a proposé le modèle d’intensité qui a en plus de la propriété self-exciting, la propriété « mutually exciting. » Par ailleurs, Nakagawa (2010a, 2010b) a aussi proposé les dérivés de crédit dénommés protection contre le multi-déclassement (« multidowngrade protection ») et il a mentionné que ces modèles sont efficaces pour évaluer la protection multi-déclassement. Comme Nakagawa (2010b) l’a remarqué, les changements de la note de crédit sont en général modélisés par la matrice de l’intensité de la transition de la note (AAA –AA, AAA–CCC) ).

Par contre il est difficile d’utiliser la structure de la matrice de transition de la note afin d’examiner la dépendance du risque dynamique du portefeuille. Cependant, avec le modèle de Nakagawa (2010a, 2010b), on peut considérer sans grande difficulté la dépendance du risque dynamique du portefeuille. Ce chapitre fournit un nouveau modèle qui illustre les évènements de crédit sur l’ensemble d’une économie et nous éclaire sur la manière de mesurer le risque d’un portefeuille de dérivés de crédit.

Ici, les évènements de crédits peuvent être soit un changement de la note (hausse, baisse) soit un défaut de paiement. Notre modèle est une extension du modèle proposé par Nakagawa (2010a). De plus, nous allons réaliser une simulation à partir d’un algorithme fondé sur notre modèle qui peut fonctionner également avec d’autres modèles. Nous modélisons les évènements de crédit pour l’ensemble de l’économie avec un état dépendant et un processus d’intensité de type self exciting. En raison de la modélisation de l’intensité self exciting des évènements au niveau de l’économie, notre modèle peut identifier la dépendance au risque de crédit parmi plusieurs portefeuilles de crédit.

Autrement dit, l’apparition d’un évènement dans un portefeuille peut influer sur l’apparition des prochains évènements dans toute l’économie et peut aussi avoir d’autres impacts sur la probabilité que cela survienne dans d’autres portefeuilles. Notre modèle d’intensité des évènements de crédits est analogue au modèle d’intensité de défaut proposé par Giesecke et Kim (2011). Cependant, étant donné que nous examinons les changements de note plutôt que les instants de défaut, notre modèle est différent.

Comme nous considérons non seulement le défaut de paiement mais aussi le changement de (notation, note de crédit) nous pouvons identifier la qualité de crédit et la solvabilité des portefeuilles. Nous spécifions la méthode de thinning aléatoire en ce qui concerne la répartition de la qualité des portefeuilles, notamment avec la fréquence relative de notation dans un portefeuille  d’obligations. Notre modèle est donc particulièrement utile pour l’analyse de risque de portefeuille de dérivés de crédit comme les obligations adossées à des créances.

En plus, le fait que notre modèle traite simultanément de plusieurs portefeuilles permet d’analyser plusieurs obligations adossées à des créances, ce qui est adéquat pour l’analyse des CDO-squareds (type de CDO avec une structure de double couche). Ce chapitre est organisé comme suit : La section 2 rappelle les notions de base en vue de l’évaluation des dérivés de crédit (voir également le chapitre 2) et introduit en particulier la notion de processus self exciting pouvant permettre de modéliser la notion de contagion en risque de rédit. La section 3 fournit les éléments pour estimer le processus ponctuel modélisant l’effet de contagion. La section 4 étudie le problème de l’évaluation des options sur produits de crédit dans ce contexte.

Le modèle financier avec contagion

Dans ce qui suit, nous introduisons un modèle financier qui prend en compte les effets de contagion pour les évènements de crédit (hausse ou baisse de la note). Pour cela, nous introduisons des processus ponctuels marqués multidimensionnels. Ceci constitue une généralisation de l’intensité « self-exciting » introduite dans Errais et al. (2006), Nakagawa (2009), Yamanaka et al. (2009) et Azizpour et Giesecke (2008). On considère l’ensemble de p firmes indexées par l.

Supposons que (Ω, F, P) soit un espace probabilisé complet. Soit (Ft) t la filtration correspondante pour l’information disponible à tout temps t durant la période de gestion [0, T]. Indiquons par i = 1, …, m les types d’évènement de crédit. Ils représentent toutes les baisses et hausses potentielles de notation qui peuvent survenir lors d’une période de gestion. Pour chaque i, on considère la série temporelle (T i k )k correspondant à l’instant où l’évènement i survient (T i k est la date où le k-ième évènement de type i survient). Nous avons : ∀i = 1, …, m, 0(= T i 0 ) < Ti 1 < Ti 2 < ….

La suite des instants T i k forme un processus ponctuel adapté à Ft , c’est à dire encore que (T i k ) k∈N est une suite de Ft-temps d’arrêt. Introduisons le processus de comptage correspondant N1 t , ….N m t associé au processus ponctuel (T i k ) k∈N . Nous supposons que leurs variations quadratiques sont nulles : N i , Nj t = 0 p.s. si i = j,

Cela signifie que les processus Ni et Nj n’ont pas de covariations simultanées presque sûrement. Si pour chaque évènement de crédit de type i, nous observons cet évènement simultanément pour plusieurs entreprises, nous devons introduire un nombre  variable de ces entreprises. On les désigne par η i k . Par conséquent, à chaque moment t, le nombre total L i t de réalisations des évènements chez toutes les entreprises est donné par : L i t = Ni t k=1 η i k . (56) Les processus L 1 t , …, Lm t sont (Ft) t – adaptés.

Leurs instants de variations sont modélisés par les processus ponctuels N1 t , …, Nm t . R#$ 3. Généralement, pour chaque i, les variables aléatoires η i k sont supposées être distribuées de manière indépendante et identique (voir Nakagawa, 2009). Dans ce qui suit, on suppose seulement que, pour chaque k ∈ N et i = 1, …, m, les variables aléatoires η i k sont FT i k —mesurables.