Modélisation de bruit hétérogène et estimation de la matrice de covariance  

Définitions et modèle des données

Modèle général Comme évoqué précédemment, dans les applications de traitement de signal on s’intéresse très souvent à la distribution des données reçues. De manière très générale, les données sont modélisées par des vecteurs complexes z de taille M, z ∈ CM : z = s + n (1.1) avec s le signal cible (ici considéré comme déterministe) et n le bruit additif (aléatoire) résultant de fluctuations de mesures ou servant à rendre compte des incertitudes de modèle. Selon l’application, diverses hypothèses sont faites sur ces deux quantités. Nous pouvons citer quelques exemples :

– Détection : Le problème de détection est de dire si oui ou non, un signal d’intérêt s est présent dans la mesure z. Le problème est généralement exprimé sous la forme d’un test d’hypothèse 18 Modélisation de bruit hétérogène et estimation de la matrice de covariance état de l’art 1.1 Définitions et modèle des données binaire : ( H0 : z = n H1 : z = s + n (1.2) – Estimation de paramètres du signal : dans ce type d’application, on dispose d’un modèle sur le signal s, généralement dépendant d’un vecteur de paramètres θ et noté s(θ). Le problème est alors de retrouver ces paramètres au travers de mesures de s corrompue par le bruit n.

– Estimation de paramètres du bruit : dans cette application, c’est le bruit n qui dépend des paramètres θ et est noté n(θ). Le problème est alors de retrouver ces paramètres au travers d’observations du bruit n. Dans ce cas de figure, on considère le plus souvent qu’aucun signal ne vient perturber la mesure de ce bruit, soit s = 0. Avant d’aller plus loin, la section suivante définira quelques termes généraux dont nous aurons besoin pour poursuivre. Nous en profiterons pour poser dès à présent quelques hypothèses sur les types de signaux que nous considérerons au cours de cette thèse.

Définitions générales Définition

Moyenne La moyenne µ de la variable aléatoire considérée z est définie comme son espérance mathématique : µ = E(z) (1.3) elle est aussi appelée moment d’ordre 1, ou statistique d’ordre 1. Dans de nombreuses applications la moyenne de la variable aléatoire observée est tout simplement considérée comme nulle : µ = 0. C’est d’ailleurs l’hypothèse que nous ferons tout au long de cette thèse car elle est vérifiée dans de nombreux cas pratiques, notamment pour les signaux ondulatoires (ondes sonores, électromagnétiques . . .).

Cette hypothèse est aussi équivalente à celle de la moyenne connue, qui amène alors à considérer directement la variable recentrée z 0 = z − µ. Cependant, notons tout de même que les extensions de résultats au cas de la moyenne non nulle ne sont pas toujours évidents et nécessitent un travail particulier [39]. Nous avons évoqué précédemment, les statistiques du second ordre des données reçues. De manière plus concrète, il s’agit de la matrice de covariance et de la matrice de pseudo-covariance. Avec ces deux paramètres, on est en mesure de décrire complètement les statistiques du second ordre d’un vecteur aléatoire complexe.

Notons SM + l’ensemble des matrices hermitiennes semi-définies positives de taille M × M. Définition 1.1.2.2 Matrice de Covariance La Matrice de Covariance cov(z) ∈ SM + du vecteur aléatoire centré z ∈ CM est définie par : cov(z) = E  zzH  (1.4) Définition 1.1.2.3 Matrice de Pseudo-Covariance La Matrice de Pseudo-Covariance pcov(z) du vecteur aléatoire centré z ∈ CM est définie par : pcov(z) = E  zzT  (1.5) 19 CHAPITRE 1 : ÉTAT DE L’ART Une notion importante est celle de la propriété de circularité des variables : Définition 1.1.2.4 Symétrie circulaire Un vecteur z ∈ CM est dit circulaire si z d= e jθz ∀θ ∈ R (1.6) Définition 1.1.2.5 Circularité au second-ordre Un vecteur z ∈ CM est dit circulaire du second ordre si pcov(z) = 0

La circularité du second-ordre est une hypothèse très souvent exploitée en traitement de signal. En effet, le bruit additif est sans trop d’erreur, communément modélisé par une distribution circulaire. De plus, de nombreux signaux complexes synthétisés en communication sans fil ou en traitement d’antenne ont des propriétés de symétrie circulaire. Dans ce document, les signaux seront toujours considérés comme circulaires.

Pour se rapprocher des termes habituellement utilisés, nous utiliserons d’ailleurs simplement le terme de « circularité » lorsqu’il s’agit de circularité du second-ordre. Afin de ne rien négliger, notons toutefois qu’il existe de nombreux exemples de signaux noncirculaires dans la littérature [103]. Prendre en compte cette non-circularité peut permettre d’améliorer considérablement les performances dans certaines applications [1], [21], [6]. Par ailleurs, des tests de circularité ont été établis pour vérifier si les signaux observés satisfont cette hypothèse : [5] chapitre 2, [78], [81]