Cours modèles statistiques et leur lien avec les modèles déterministes , tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

Les modeles de croissance discretes

Theme de ce TP : exploration des dynamiques temporelles d’un modele de croissance discrete et construction d’un diagramme de bifurcation.

Programmer dans R et graphismes

R n’est pas seulement un logiciel pour faire des analyses statistiques avec une interface graphique (Rcmdr), c’est egalement un logiciel de programmation pour faire des experiences virtuelles et la modeli-sation. Vous en avez deja eu un premier apercu durant le TP sur la methode du bootstrap. Rappelons vite ce que vous y aviez appris.
{ Vous pouvez passer vos commandes directement a R par la ligne de commande dans la console, par exemple pour apprendre plus sur R vous y tapez R> citation() # tout apres le signe # est un commentaire, non-interpret par R et la reponse vous dit comment le citer dans un rapport ou vous avez utilise R. Une commande est toujours suivi d’une parenthese, m^eme si rien n’est ecrit entre les parentheses.
{ Un programme s’ecrit d’habitude dans un script R (Fichier – nouveau script) dans lequel vous ecrivez des commandes que vous executez ensuite en les copiant-collant ou (dans Windoze) en selectionnant la commande et en appuyant simultanement sur Ctrl et R. Ce script peut ^etre enre-gistre comme n’importe quel chier du type texte, en lui donnant un nom qui se termine par .R (par exemple monSecondScript.R).
{ Dans ce script vous pouvez ecrire des commandes, par exemple creer des vecteurs qui contiennent (ecrire les commandes dans le script et ensuite les copier-coller dans R – comprenez-vous ce que vous voyez appara^tre ?).
{ Parcourir les elements d’un vecteur avec une boucle for et changer leurs valeurs for (pos in 1:4) f v2[pos] = pos*v1[pos]
Passons maintenant a une nouvelle chose, les graphiques dans R. On fera les commandes directement dans la console pour explorer. La commande plot prend en premier argument un vecteur avec les valeurs de l’abscisse (x₁; x₂; : : 🙂 et en second argument un vecteur avec les valeurs de l’ordonnee (y₁; y₂; : : 🙂 correspondant pour tracer un graphiques avec des points a ces positions (x_i; y_i) R> plot(v1, v2)  # tracer v2 en fonction de v1
R> plot(v1, v2, type= »l ») # tracer les points joints par des lignes droites, l est la lettre l R> plot(v1, v2, type= »b »)  # tracer lignes et points R> plot(v1,v2, type= »b »,xlab= »Axe x »,ylab= »Axe y »,main= »Mon graphique »)   # enjoliver
Si vous voyez dans la console un + cela veut dire que R attend que vous terminez la commande en cours, par exemple R> plot(v1, v2  # il manque encore la fin de la parenthese + )  # le + s’affiche, tapez simplement )
Si a un moment vous n’arrivez pas a sortir du + appuyez sur la touche Ech.
Il y a des commandes pour ajouter d’autres elements sur un graphique deja existant et ouvert (ecrire dans le script et copier-coller ligne par ligne pour voir et comprendre ce qui se passe).

Croissance Logistique discrete : dynamiques et diagramme de bifurcation

Un modele classique pour decrire la dynamique d’une population dont la reproduction est parfaitement synchronisee et qui prend en compte les e ets limitant de la densit dependance est le modele logistique en forme discrete (aussi appel le modele de Ricker), avec taux d’accroissement r et capacite de charge K. Veuillez noter que j’ai choisi ce modele provenant du contexte ecologique parce qu’il est le plus simple pour bien comprendre les phenomenes de bifurcation et du chaos deterministe, mais les principes que vous allez decouvrir s’appliquent aussi bien aux phenomenes collectifs des insectes sociaux, a la regulation cardiaque ou autres phenomenes plus generaux.
Ouvrez le chier LogDiscret.R, analysez ce qu’il fait et modi ez-le ensuite pour calculer et a cher (en fonction du temps) la dynamique de ce modele avec condition initiale x₀ = 50, r = 1:8, K = 500 et pour un temps t = 50. Quelle dynamique observez-vous ? Determinez en particulier la dynamique transitoire et la dynamique stationnaire.

Informations supplementaires

Voici un commentaire de May (1975) sur la signi cation du phenomene etudie : For population biology in general, and for the temperate-zone insects in particular, the implication is that even if the natural world was 100% predictable, the dynamics of populations with \density dependent » regulation could nonetheless in some circumstances be indistinguishable from chaos, if the intrinsic growth rate r is large enough.
Pour ceux avec quelques a  nites mathematiques : on peut prouver que la moyenne va rester proche de K m^eme en regime chaotique

Du calcul matriciel a une simulation des dynamiques des fourmis entre nid et source de nourriture

Ce TP sera divise en deux parties. La premiere partie est un petit entrainement au calcul matriciel dans R, et dans la seconde on s’en servira pour simuler et visualiser les dynamiques (en forme d’equations di erentielles lineaires) des fourmis entre le nid et une source de nourriture.

1 R – une premiere introduction 
1.1 Prise en main
1.2 Entra^nement
1.3 Informations supplementaires
2 Les modeles de croissance discretes 
2.1 Programmer dans R et graphismes
2.2 Croissance Logistique discrete : dynamiques et diagramme de bifurcation
2.3 Entrainement
2.4 Informations supplementaires
3 Les modeles a compartiments et leur simulation 
3.1 Du calcul matriciel a une simulation des dynamiques des fourmis entre nid et source de
nourriture7
3.2 Entrainement
3.3 Informations supplementaires
4 Les EDO non-lineaires et leur analyse 
4.1 Simulation numerique d’un systeme dynamique continu
4.2 Entrainement
4.3 Informations supplementaires
5 Modeles statistiques et leur lien avec les modeles deterministes 
5.1 Le temps de sejour dans le nid
5.2 Traduction du temps de sejour en variable aleatoire
6 Les modeles dans l’espace 
6.1 Marche aleatoire dans l’espace 1D
6.2 Deplacement de plusieurs animaux simultanement
6.3 L’equation de diusion et sa simulation
7 Tests statistiques sur un ou deux echantillons 
7.1 Lecture des donnees – les data.frame
7.2 Visualisation des donnees
7.3 Y a-t-il une dierence entre le temps de reaction des femmes et des hommes ?
7.4 Les interfaces graphiques des logiciels statistiques
7.5 Les tests non-parametriques : exemple de l’in uence de la temperature sur le depot spontan
e de cadavres chez la fourmi Messor sancta
8 Estimation, regression lineaire et le bootstrap 
8.1 Les courbes de survie et les modeles a compartiments
8.2 Estimation d’un taux de depart d’un compartiment
8.3 Le boostrap : une methode generale pour estimer l’erreur standard
8.4 Entrainement
9 Les analyses de la variance (ANOVA) 
9.1 ANOVA a un facteur
9.2 Tests post-hoc
9.4 ANOVA avec mesures repetees (ANOVA appariee)
9.5 Entrainement
9.6 Informations supplementaires