Modèles d’observation SMV parcimonieux

 Modèle SMV pour le contexte aéroporté

On considère un réseau d’antennes embarqué dans un avion ou un drone, comme représenté sur la figure 3.1. La charge utile est alors limitée, et le réseau est contraint à la fois sur le nombre d’antennes et sur la dimension du réseau (ouverture). Dans ce contexte, le nombre de signaux incidents peut être très important : le nombre d’émetteurs visibles augmente avec l’altitude du porteur. De plus, les angles d’arrivées de deux sources peuvent alors être proches.

Pour un scénario multi-sources avec un réseau de petite ouverture et un nombre d’antennes réduit, nous savons que les méthodes HR offrent une faible résolution et une faible robustesse aux ambiguïtés. De plus, elles ne permettent pas de localiser plus de sources que de capteurs à partir des statistiques d’ordre 2. 

Modèle du signal reçu

Dans un contexte aéroporté, les signaux reçus sont indépendants : il n’y a généralement que des propagations en trajets directs. On parlera d’émetteurs LOS, pour Line Of Sight. On note sm(t) les signaux émis par les M émetteurs LOS. Pour des angles d’arrivée Θ = {θ1, . . . , θM}, le signal x(t) = [x1(t), . . . , xN (t)]T reçu en sortie du réseau de N antennes est alors : x(t) = X M m=1 a(θm)sm(t) + n(t), (3.1) où E  sm(t)s ∗ m0(t)  = 0 pour m0 6= m. On suppose de plus que n(t) est un bruit blanc indépendant du signal dont la covariance vérifie : E  n(t)n H(t)  = σ 2 n IN . (3.2) 

La matrice de covariance Rxx (1.32) s’écrit selon (1.33) avec, dans le contexte de sources indépendantes, Rss = E  s(t)s H(t)  , (3.3) = diag(γθ1 , . . . , γθM ) (3.4) avec, pour m = 1 . . . M, γθm = E  |sm(t)| 2  la puissance de la m-ième source de direction d’arrivée θm. On a alors : Rxx = X M m=1 a(θm)a H(θm)γθm + σ 2 n IN . (3.5) 3.2.2 Observation SMV dans le cas aéroporté : la matrice de covariance vectorisée De manière à augmenter virtuellement le nombre d’antennes du réseau pour accroître la capacité de goniométrie en nombre de sources, on utilise la matrice de covariance vectorisée.

Il s’agit des colonnes de la matrice Rxx mises bout à bout dans une seule colonne. Pour une matrice R, la vectorisation est définie par : vec(R) =  RT :,1 RT :,2 . . . RT :,N T , (3.6) avec R:,i la i-ème colonne de la matrice R. La matrice de covariance vectorisée r = vec(Rxx) est alors de la forme r = X M m=1 b(θm)γθm + σ 2 nvec(IN ) (3.7) où b(θ) = a ∗ (θ) ⊗ a(θ), (3.8) a ∗ est le conjugué de a, et ⊗ est le produit de Kronecker. On note BΘ = [b(θ1), . . . , b(θM)] et γΘ = [γθ1 , . . . , γθM ]. On a alors : r = BΘγΘ + σ 2 nvec(IN ). (3.9) Le but est de construire une observation parcimonieuse à partir de cette matrice de covariance vectorisée.

On choisit de soustraire le bruit moyen à la matrice de covariance vectorisée supposée exacte et sans erreurs de modèles : y = r − σ 2 nvec(IN ) = BΘγΘ. (3.10) Soit B ∈ CN2×G un dictionnaire calculé comme le produit de Khatri-Rao par colonnes de 44 3. Modèles d’observation SMV parcimonieux la table de calibration A conjuguée avec elle-même : B = [b(ψ1), . . . , b(ψG)] = A∗  A. (3.11) Sous l’hypothèse Θ ⊂ Ψ, la matrice BΘ est une sous-matrice du dictionnaire B. Soit γ = CΘ(γΘ). Alors : BΘγΘ = Bγ (3.12) et l’observation choisie s’écrit : y = r − σ 2 nvec(IN ) = Bγ. (3.13)

L’observation y est de dimension N2 , et le vecteur γ ∈ R G est parcimonieux, de degré de parcimonie M, et les composantes non nulles correspondent aux puissances des sources γθm. Cette observation a déjà été utilisée avec succès en goniométrie parcimonieuse [42, 63]. L’augmentation de la dimension de l’observation y par rapport à la dimension initiale N du signal reçu x(t), N correspondant au nombre de capteurs, permet théoriquement d’estimer davantage de sources que de capteurs.

Utiliser la matrice de covariance vectorisée revient en effet à considérer un réseau virtuel qui contient jusqu’à N2 − N + 1 capteurs différents. On représente sur la figure 3.2 un réseau circulaire uniforme à N = 7 antennes et les capteurs virtuels obtenus avec la vectorisation de la matrice de covariance.