Modèles de turbulence et de transition

Equations de Navier Stokes

Cette partie décrit les équations de Navier Stokes. La masse volumique est notée ρ, la quantité de mouvement ρU et l’énergie totale par unité de volume, ρE. Le style gras indique ici un vecteur. L’équation de conservation de la masse s’écrit ∂ρ ∂t + div (ρU) = 0, (3.1) celle de la conservation de la quantité de mouvement, ∂ρU ∂t + div [ρU ⊗ U + pI − τ ] = 0. (3.2) La conservation de l’énergie totale s’écrit, ∂ρE ∂t + div [ρEU + pU − τ · U + q] = 0, (3.3) où p est la pression, τ le tenseur des contraintes dues à la viscosité et q, le vecteur du flux de chaleur dû à la conductivité thermique.

Pour fermer ce problème, il faut définir ces dernières Modèles de turbulence et de transition 36 Modèles de turbulence et de transition quantités, et faire des hypothèses sur le fluide considéré. Ici, nous allons travailler dans l’air qui sera considéré à la fois comme un fluide newtonien et comme un gaz parfait. L’hypothèse de fluide newtonien donne le tenseur des contraintes visqueuses τ = λdiv(U)I + 2µD (3.4) où λ et µ sont les deux coefficients de viscosité volumique et dynamique respectivement.

D est le tenseur du taux de déformation. Ce tenseur écrit dans un repère cartésien est Dij = 1 2 ∂ui ∂xj + ∂uj ∂xi ! . (3.5) La viscosité volumique λ est modélisée par l’hypothèse de Stokes λ = − 2 3 µ. (3.6) La viscosité dynamique µ est une fonction de la température supposée satisfaire à la loi de Sutherland µ = µs s T Ts 1 + Cs/Ts 1 + Cs/T (3.7) où µs = 1.716e −5P a.s, Ts = 273.15K et Cs = 110.4K. Le vecteur de flux de chaleur est donné par la loi de Fourier q = −KgradT. (3.8) K est le coefficient de conductivité thermique. Ce coefficient est proportionnel à la viscosité. K = cp µ P r avec cp la capacité calorifique à pression constante et où Pr est le nombre de Prandtl qui sera supposé constant. Pr = 0.72 en laminaire et Pt = 0.9 en turbulent.

Le gaz étant supposé thermiquement et calorifiquement parfait, la capacité calorifique à pression constante est cp = γR γ−1 , avec γ = 1.4 pour l’air pris comme un gaz monoatomique. R = 287m2K−1 s −2 est la constante des gaz parfaits. Le lien entre pression, densité et température est donné par l’équation d’état p = ρRT. (3.9) Enfin, le lien entre l’énergie totale et la température est donné par E = cvT + 1 2 U2 (3.10) avec cv la capacité calorifique à volume constant qui, dans le cadre des hypothèses précédentes, satisfait cv = R γ−1 . 

Les équations RANS

Dès lors que l’écoulement est turbulent, la résolution complète des équations de Navier Stokes est très couteuse en temps de calcul. Afin de réduire ces coûts, il a été proposé de modéliser les fluctuations turbulentes en décomposant les champs de densité, de vitesse et d’énergie comme étant la somme de leur moyenne d’ensemble et d’une quantité fluctuante, q = ¯q + q ′ (3.11) avec q¯ = 1 N X n qn. (3.12) Avec l’hypothèse ergodique, cette moyenne revient à une moyenne temporelle q¯ = lim t→∞ 1 T Z T 0 q(t)dt. (3.13) Cette moyenne est appelée moyenne de Reynolds. Par définition, q ′ = 0.

Dans un contexte compressible, il est utile de prendre une autre moyenne pour la vitesse et l’énergie. On utilise alors la moyenne de Favre définie comme étant : q˜ = ρq ρ . (3.14) On décompose alors q = ˜q + q ′′. Il est important de noter que q ′′ ̸= 0. Le but est alors de trouver les équations satisfaites par les quantités moyennes, et de ne plus calculer les fluctuations turbulentes. Le système d’équations satisfait par ces quantités moyennes est le système RANS. Les équations deviennent ∂ρ¯ ∂t + div  ρ¯U˜  = 0 (3.15) ∂ρ¯U˜ ∂t + div h ρ¯U˜ ⊗ U˜ + ¯pI − τ i = −div  ρU′′ ⊗ U′′ (3.16) ∂ρ¯(E˜ + ˜k) ∂t + div h ρ¯(E˜ + ˜k)U˜ + ¯pU˜ − τ · U + q¯ i = −div  ρe′′U′′ + ρU˜ iU ′′ i U′′ + 1 2 ρU′′ i U ′′ i U′′ + p.U′′ (3.17)

Les seconds membres de ces équations sont des corrélations des quantités fluctuantes et sont inconnues. Il faut les modéliser. L’hypothèse de Boussinesq modélise ces termes par des termes de diffusion ( τ r pour la viscosité et qt pour la thermique). Ainsi, en oubliant les signes des moyennes pour alléger les 38 Modèles de turbulence et de transition notations, les équations (3.15-3.17) deviennent : ∂ρ ∂t + div (ρU) = 0 (3.18) ∂ρU ∂t + div [ρU ⊗ U + pI − τ − τr] = 0 (3.19) ∂ρ(E + k) ∂t + div [ρ(E + k)U + pU − (τ + τr) · U + q + qt ] (3.20) où τ = λdiv(U)I + 2µD (3.21) τr = − 2 3 (ρk + µtdiv(U))I + 2µtD (3.22) q = −KgradT (3.23) qt = − cpµt Pt gradT (3.24) Dij = 1 2 ∂Ui ∂xj + ∂Uj ∂xi ! . (3.25)

De plus, l’hypothèse de Stokes (3.6) est appliquée. Il reste, pour fermer ces équations, à déterminer µt . Les modèles de fermeture utilisés ici sont décris ci-dessous. 3.3 Fermetures des équations RANS Les modèles de turbulence pour fermer le système RANS sont nombreux et reposent souvent sur des équations de transport. Ces nouvelles équations sont en nombre variable selon les modèles. Par exemple, le modèle de Spalart-Allmaras propose une unique équation de transport pour la viscosité turbulente.

Les modèles de type k − ε, k − l, ou encore k − ω proposent une première équation de transport pour l’énergie cinétique turbulente k = 1 2 u ′ iu ′ i et une seconde équation pour la dissipation ε = µ ∂u′ i ∂xj ∂u′ i ∂xj , la dissipation spécifique ω = ε/k, ou pour l’échelle de longueur des structures turbulente l. Il est à noter que l’équation sur k peut être exactement déterminée. Certains modèles proposent plus de deux équations. Ici, nous allons présenter le modèles à une équation de Spalart et Allmaras, et la famille des modèles k − ω.