Modèles de Markov triplets 

Modèles de Markov triplets 

Dans le chapitre précédent, nous nous sommes concentrés sur la loi du processus caché et nous avons étendu le modèle de chaînes de Markov cachées à celui des chaînes semi markoviennes cachées M-stationnaires. Dans le présent chapitre, nous étudions la loi d’observation. Pour cela, nous rappelons diverses lois non gaussiennes telles que les lois de type exponentiel, elliptiques ou les “Vecteurs aléatoires sphériquement invariants” (abréviation anglaise SIRV) fréquemment rencontrés en traitement du signal radar. Nous nous intéressons ensuite aux copules, qui sont tout d’abord présentées brièvement dans leur contexte historique. Ensuite nous décrivons leur introduction récente dans le contexte des chaînes de Markov cachées et couples , qui permettent la conception de très nombreux modèles particuliers du bruit. Pour finir, nous présentons dans la dernière sous-section un modèle triplet de chaînes de Markov non stationnaires cachées avec du bruit corrélé non gaussien original. Une méthode originale d’estimation des paramètres de type ICE est proposée et la méthode non supervisée correspondante de segmentation est validée par des expériences informatiques. En particulier, nous montrons l’importance du choix de la bonne copule ; toute chose égale par ailleurs (en particulier, les mˆemes marginales des observations conditionnellement aux classes), l’utilisation d’une copule différente de celle correspondant aux données peut dégrader de manière significative les résultats des segmentations. 4.1 Lois elliptiques, modèles exponentiels et lois de Von Mises-Fisher Dans cette section, nous donnons deux familles de lois généralisant la loi normale. La première est celle des lois de type exponentiel et la seconde est celle des lois elliptiques. Nous commen¸cons par donner la définition générale d’un modèle exponentiel. Dans un second temps, nous donnons l’exemple de la loi de Von Mises-Fisher qui sera utilisée dans les applications au radar au chapitre 6. 65 a observations non gaussiennes 

Modèles exponentiels

Soit (Y, B, ν) un ensemble mesuré, o`u B est une tribu sur Y et ν une mesure définie sur B. Définition 4.1.1 (Modèles exponentiels). Soit a une application de Y dans R k , Θ un sousensemble de R d , θ ∈ Θ et α une application de Θ dans R k . Une variable aléatoire à valeurs dans (Y, B) suit une loi de type exponentiel de paramètre numérique θ et de paramètres fonctionnels a et α si sa densité par rapport à ν s’écrit : ∀y ∈ Y, p(y) ∝ exp (hα(θ), a(y)i), o`u h., .i est le produit scalaire euclidien de R k . Lorsque le modèle exponentiel est paramétré par λ = α(θ), on dit que le paramétrage est canonique

Loi de Von Mises-Fisher 

Rappelons d’abord comment est définie la mesure de Lebesgue sur la sphère S d−1 =  x ∈ R d : kxk = 1 , que l’on notera σSd−1. La sphère sera munie de sa tribu borélienne BSd−1 . Notons également B[0,+∞[ la tribu borélienne de [0, +∞[. La tribu borélienne de R d est la tribu produit B[0,+∞[ ⊗ BSd−1 ; soit celle engendrée par les boréliens, dit élémentaires, B1 ×B2 o`u B1 ∈ B[0,+∞[ et B2 ∈ BSd−1 .

Lois elliptiques

Une variable aléatoire prenant ses valeurs dans R d suit une loi elliptique si les isodensités sont des ellipso¨ıdes de R d . En d’autres termes, la densité d’une loi elliptique est définie par : Définition 4.1.2. Soit m ∈ R d , Σ une matrice réelle symétrique définie positive de dimension d × d et h une fonction de R + dans R +. Une variable aléatoire Y à valeurs dans R d suit une loi elliptique de paramètres euclidiens m ∈ R d

Vecteurs aléatoires sphériquement invariants

Dans cette section, nous étudions un cas particulier de distributions elliptiques, celui des vecteurs aléatoires sphériquement invariants (SIRV). Un SIRV de dimension d est le produit de deux variables aléatoires : la “texture” qui est une variable aléatoire à valeurs positives, et le “speckle” qui est un vecteur aléatoire gaussien de R d ou C d , selon que le SIRV soit réel ou complexe. La terminologie est empruntée à celle des spécialistes du signal radar . En traitement du signal radar, à une distance et un angle de visée donnés, le signal réfléchi est un vecteur complexe appelé “données In Phase-Quadrature (IQ)”. Ce vecteur complexe est souvent considéré comme un SIRV, le “speckle” pouvant s’interpréter physiquement comme le chatoiement optique dˆu à l’excitation des électrons et la texture comme les fluctuations spatiales macroscopiques du signal réfléchi. Nous détaillerons l’acquisition des données IQ au chapitre6

Lois SIRV à valeurs dans R d : définition et exemples

Définition 4.2.1 (Vecteurs aléatoires sphériquement invariants réels). Une variable aléatoire Y à valeurs dans R d est un vecteur sphériquement invariant s’il s’écrit : Y = R × Z + m, o`u R est une variable aléatoire réelle positive appelée texture, Z est un vecteur aléatoire gaussien centré à valeurs dans R d appelé “speckle”, et m est un vecteur réel appelé paramètre de position. A partir de maintenant, on notera Σ la matrice de covariance du “speckle”. Lorsque le paramètre de position m = 0 et Σ est la matrice identité, on dira que le SIRV est centré réduit. Les deux principaux exemples de SIRV réels sont : Lois de Student sur R d La texture est l’inverse de la racine carré d’une variable aléatoire de loi Γ de paramètre de forme ν, sa densité est définie sur R +