Modèles de fissuration hydraulique

Modèles de fissuration hydraulique

La modélisation de la propagation des fissures soumises à l’injection du fluide est un problème compliqué à traiter. La formulation mathématique de ce problème consiste généralement en un ensemble d’équations intégrales et différentielles contenant des frontières mobiles où les équations dégénèrent de sorte que les solutions deviennent singulières. La complexité de ce problème a limité les premiers modèles à considérer des fissures à géométrie simplifiée. Les géométries le plus utilisés sont (voir Figure1.2) : — Le modèle en déformation plane ou modèle KGD, développé par Khristianovic et Zheltov [29] et Geertsma et de Klerk [21], qui considère que l’évolution de la fissure se développe en état plan de déformations, pour une fissure de hauteur infinie. — Le modèle PKN, introduit par Perkins et Kern [37] et Nordgren [35], dans lequel on suppose une fissure de section transversal elliptique et de hauteur constante. On considère aussi un état plan de déformations pour tout section transversale verticale. — Le modèle radial ou en forme de penny, lequel suppose que la fissure se propage de façon axi-symétrique par rapport au point d’injection du fluide [8, 10, 19, 23]. On peut visualiser une représentation des géométries mentionnées sur la figure 1.2. Figure 1.2 – Différents géométries simplifiées de la fissure (Figure prise de [1]). 1.3 Solutions asymptotiques au problème de fracturation hydraulique Depuis la formulation des premiers modèles, il était nécessaire de trouver une façon de valider les résultats trouvés par ces modèles. Étant donnée la complexité des équations et l’impossibilité d’obtenir des solutions explicites, les solutions asymptotiques sont proposées comme des alternatives à ce problème [2, 10, 17, 40]. Durant les 20 dernières années de recherche sur le sujet, on a trouvé que la solution est grandement dépendant du comportement de la solution autour du front de fissure [18]. Alors, Garagash et Detournay [20] proposent de trouver des solutions au système d’équations du modèle en fonction d’une coordonnée mobile S (défini par S = VcT − X) dont le point d’origine est le front de propagation de fissure. Cette coordonnée mobile permet à Garagash et Detournay de montrer que la solution au système d’équations est équivalente à la solution stationnaire d’un problème de propagation d’une fissure semi-infinie se propageant à vitesse constante Vc (à priori connu à l’avance) sous l’injection d’un fluide Newtonien qui remplit complètement la fissure. Ce nouveau problème permet d’obtenir des solutions, appelées « asymptotiques », construites pour des cas limites des paramètres principaux du problème, c’est à dire en prenant une valeur de la viscosité du fluide ou de la ténacité du milieu très grande ou très petite. Alors, en définissant une longueur de référence L ∗ et une hauteur de référence H∗ qui sont fonction des paramètres du problème, on montre que près du point de fissuration (S /L∗ ≤ 10−3 ) la hauteur de la fissure évolue comme H /H∗ ≈ S 1/2 [17] tandis que loin du front de fissuration (S /L∗ ≥ 10−1 ) la hauteur de la fissure évolue comme H /H∗ ≈ S 2/3 [11, 31, 44]. La solution H /H∗ ≈ S 1/2 est obtenue dans le régime « à grande ténacité », qui est le cas d’une fissure où les effets de la ténacité du milieu sont largement supérieures aux effets de la viscosité du fluide. De façon analogue, la solution H /H∗ ≈ S 2/3 est obtenue dans le régime « à grande viscosité » (ou zéro ténacité) qui correspond au cas d’une fissure où les effets de la ténacité sont négligeables par rapport aux effets de la viscosité du fluide. D’ailleurs, une autre asymptote (H /H∗ ∼ S 5/8 ) a été trouvé par Lenoach [30] pour le cas d’une fissure dans un milieu perméable, que correspond à la région intermédiaire entre les solutions asymptotiques précédents et dépend de la vitesse de fuite de fluide. En 2008, Bunger et Detorunay proposent une prèmierée approche de la validation expérimentale de ces solutions asymptotiques. Bunger et Detournay [8] analysent la propagation d’une fissure en forme de disque dans un milieu imperméable (consititué de polymethyl methacrylate et verre). Ces résultats sont comparés avec les solutions asymptotiques et on peut les observer sur la figure 1.3. Cette figure montre les mesures de l’épaisseur adimensionnée de la fissure H /H∗ en fonction de la distance adimensionnée au front de propagation de fissure S /L∗ .