Modèle VDT avec effectivité et plasticité

Les essais mentionnés dans le premier chapitre mettent en évidence des déformations irréversibles en fin de chargement. Elles pourraient provenir de la déformation irréversible des cristaux ou d’un mouvement relatif des grains. Trois possibilités se présentent à nous pour intégrer une composante de plasticité dans le modèle : 1. Modéliser le mécanisme de frottement interne s’est, dans une décomposition V-D-T, intégrer une déformation plastique tangentielle. Le frottement n’étant actif que si les microfissures sont refermées, il faut donc ajouter un scalaire αT pour tenir compte de l’état de fermeture ou non des microfissures. Cet état étant piloté par la déformation normale à la microfissure, nous avons vu au chapitre précédent que αT doit faire intervenir une déformation « stockée » pour annuler le saut de contrainte lors du changement d’état. On peut donc imaginer un modèle où la déformation « stockée », réactualisée lors de la fermeture, évolue ensuite par un mécanisme de frottement. L’idée s’inspire des travaux de Bargellini et al. 2. La seconde possibilité consiste à introduire une déformation plastique décomposée en parties volumique, déviatorique et tangentielle dans chaque microplan . Cette approche n’interfère pas avec les variables d’effectivité. L’identification des paramètres ne peut être réalisée de façon directe et requière une méthode inverse. 3. La plasticité est supposée isotrope en contraintes effectives. Le modèle développé au chapitre précédent fournit le tenseur de rigidité anisotrope endommagé permettant de calculer les contraintes effectives. C’est cette solution qu’on a choisit. On se base sur les travaux de V.D. Le pour lequel tous les dépouillements expérimentaux ont déjà été effectués. Dans ce chapitre, nous rappelons tout d’abord comment les essais ont été interprétés 133 Modèle VDT avec effectivité et plasticité  par V.D. Le [56]. Les loi d’écrouissage et le phénomène de dilatance ont été identifiés sur ces essais et une modélisation phénoménologique en est proposée. Dans la seconde section, nous montrons comment le modèle d’élasticité avec endommagement anisotrope et effet unilatéral est enrichi par une composante de plasticité. Nous détaillons notamment l’algorithme numérique mis en place pour intégrer la loi de comportement dans une routine utilisateur UMAT pour le code aux éléments finis Abaqus/Standard. Enfin, dans le cadre d’une prospection, le chapitre se termine sur la simulation de quelques uns de nos essais.

Rappel des observations expérimentales et adaptation du modèle proposé par Le [56]

Dans le premier chapitre, nous avons montré comment les essais ont été analysés pour retrancher la composante visqueuse du comportement et identifier la composante élastique endommageable. Connaissant la déformation résiduelle après recouvrance pour chaque cycle de charge/décharge, il est maintenant possible de s’intéresser à la plasticité. La différence principale avec la méthode proposée par V.D. Le réside dans le découplage que nous imposons entre endommagement et plasticité à travers un tenseur des contraintes effectives. 

Seuil de plasticité 

L’analyse des courbes contrainte-déformation permet difficilement d’identifier la perte de linéarité initiale. Nous supposerons ici que le seuil d’élasticité initial est faible. Cependant, les déformations plastiques sont négligées pour le premier cycle sur chaque essai (rappel : le premier cycle relaxation-décharge-recouvrance est supposé élastique et sert à identifier le module à l’origine à partir duquel ont été calculés les endommagements isotropes). En s’appuyant sur les contraintes maximales atteintes durant chaque essai et avant rupture, on obtient le graphique reliant la pression à la contrainte octaédrique. Sur la figure 4.1, les courbes vertes et rouges correspondent respectivement aux critères de plasticité initial et final, pour lequel l’écrouissage est supposé saturé. L’essai de traction montrant un faible niveau de déformation et une rupture fragile, il n’a pas été considéré dans la construction de ces équipotentielles. V.D. Le postule un domaine de réversibilité f 1 Q, σV , R, σ0 2 ≤ 0 où Q et σ V représentent respectivement la contrainte octaédrique et la pression des contraintes globales de Cauchy σ définies par : σ V = 1 3 tr (σ) , Q = ó 1 3 σdev : σdev avec σ dev = σ − 1 3 tr (σ) (4.1) Le critère proposé s’écrit sous la forme suivante : 134 4.1. RAPPEL DES OBSERVATIONS EXPÉRIMENTALES ET ADAPTATION DU MODÈLE PROPOSÉ PAR LE [56] -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 0 2 4 6 8 10 12 14 σ : Pression hydrostatique (MPa) Q : Contrainte octaédrique (MPa) Traction simple Compression simple Triaxiale à 5MPa de confinement Triaxiale à 10MPa de confinement Surface de charge à saturation Surface de charge initiale V Figure 4.1 – Evolution de la surface de charge selon [55] dans le plan des contraintes réelles 1 σ V , Q2 à 20°C . f = ñ Q2 + α(R)σ V − R (4.2) α (R) = R2 X(R) (4.3) X (R) = X0 + (Xm − X0) R − R0 Rm − R0 (4.4) où α(R) est une fonction de l’écrouissage R permettant de pondérer l’influence de la pression sur la surface de charge au cours de l’évolution de l’écrouissage. Elle garantie un déploiement homothétique du critère de plasticité et respecte la non intersection des isovaleurs du critère. Les surfaces de charges initiales et à saturation, associées à un niveau d’écrouissage respectivement nul et saturé, fournissent deux valeurs différentes de la fonction α(R). La signification des paramètres X0, R0, Xm et Rm est donnée sur la figure 4.2. On peut constater que la surface de charge à saturation déterminée par Le [56] passe au dessus des mesures obtenues en compression simple car l’écrouissage n’est pas saturé lors de cet essai. Intéressons-nous maintenant aux contraintes effectives dont il faut déterminer la valeur pour calculer l’écrouissage dans notre modèle. La démarche est maintenant usuelle pour un modèle avec endommagement isotrope. A chaque valeur de contrainte relaxée correspond une déformation plastique après recouvrance et une valeur d’endommagement d. La première étape consiste à diviser la contrainte par 1−d et, connaissant l’équation du critère de plasticité, à déduire la valeur de l’écrouis Figure 4.2 – Signification des paramètres X0, Xm, R0 et Rm dans le plan des contraintes 1 σ V , Q2 . sage. D’autre part, le tenseur des déformations plastiques est utilisé pour calculer une déformation plastique cumulée dont l’expression dépend du problème. On utilise enfin le graphique reliant l’écrouissage à la déformation plastique cumulée pour déterminer la loi d’écrouissage. Ici, l’anisotropie de l’endommagement complique la première étape de la démarche. Le modèle d’endommagement donne le tenseur de rigidité endommagé C ed connue en fin de relaxation. La contrainte effective pourrait être calculée par la relation σå = C ed : C el−1 : σ. La méthode que nous avons choisi est différente mais plus rapide. Le tenseur des contraintes est décomposé en parties volumique σ V 1 et déviatorique σ dev. En compression, l’endommagement n’est pas effectif sur la composante sphérique des contraintes (αV (εV ) = 0) dans notre modèle. Par contre, lors du chargement uniaxial, l’endommagement « déviatorique » se développe. Il affecte donc la contrainte déviatorique σ dev. Celle-ci est divisée par un endommagement « isotrope équivalent » connaissant la dégradation de la raideur longitudinale. Cette simplification est raisonnable lorsque l’on s’intéresse aux essais uniaxiaux (avec ou sans confinement) et à la perte du module d’Young qui décrit l’endommagement de la section de matière perpendiculaire à la direction de sollicitation. On définit la contrainte octaédrique effective « équivalente » par la relation suivante : Qå = Q 1 − d 1 − d = E ed E0 où d est l’endommagement constaté pour un niveau de contrainte donné. Les modules initiaux et endommagés sont notés E0 et E ed. Ce traitement particulier des mesures Surface de charge à saturation Surface de charge initiale Traction simple Compression simple Compression H05 Compression H10 Figure 4.3 – Surface de charge dans le plan des contraintes effectives 1 Q, å σå V 2 . Paramètres d’écrouissage X0 Xm R0 Rm Valeur (MPa) 5, 16 5, 17 0, 5 11, 5 Table 4.1 – Paramètres de la fonction seuil de plasticité pour les états initiaaux et saturés. permet de tracer l’évolution de la contrainte octaédrique effective en fonction de la pression effective dans le plan 1 Q, å σå V 2 (fig. 4.3). En écrivant l’équation 4.2 en contrainte effective, la fonction seuil de plasticité suivante : Qå2 + Rå2 X (R) σå V − R 2 = 0 (4.5) a été identifiée (pointillés noirs sur fig. 4.3, tab. 4.1). Nous indiquons ci-dessous la méthode permettant de déterminer les quatre paramètres. 

Ecrouissage 

Les grandeurs conjuguées au sens de la dissipation plastique dans le plan des deux premiers invariants de contraintes1 Q, å σå V 2 sont ε˙ p d , la vitesse de déformation plastique déviatorique, et le taux de déformation plastique volumique Écrouissage (MPa) Déformation plastique cumulée Modèle Traction simple Compression simple Compression H05 Compression H10 Figure 4.4 – Courbes d’écrouissage issues des expérimentations et du modèle. σ˜ : ε˙ p = σå V ε˙ p v + Qåε˙ p d (4.6) avec :    ε p v = 1 3 (ε p L + 2ε p T ) ε p d = ñ 2 (ε p L − ε p T ) 2 (4.7) où ε p L et ε p T sont respectivement les déformations longitudinales et transversales irréversibles mesurées. On se base à nouveau sur le modèle d’écrouissage développé par RjaFiAllah [75] et Le [55]. On suppose que l’écrouissage R est piloté par une déformation plastique cumulée dont le taux, notée p˙, est égal à la vitesse de déformation plastique déviatorique en uniaxial ε˙ p d . Les relations 4.7 sont données en fonction des variables observables. L’identification de la loi d’écrouissage s’effectue en deux temps. Tout d’abord, on cherche les paramètres X0, Xm, R0 et Rm permettant (1) si possible de joindre les contraintes maximales de chaque essai à la courbe du critère de plasticité (éq. 4.5 ; on suppose que l’écrouissage est quasiment saturé lorsque les contraintes maximales sont atteintes pour chaque essai) et (2) de grouper les courbes R(p). Après optimisation des quatre paramètres (tab. 4.1), on obtient la forme du critère de plasticité (fig. 4.3) et l’écrouissage (fig. 4.4). Dans un second temps, la courbe d’écrouissage est approximée par la relation suivante : R (p) = R0 + (Rm − R0) C 1 − 1 1 + b1p + b2p 2 D (4.8) Traction simple Compression simple Compression H05 Compression H10 1.8 2.8 x 10−4 −1.5 −1 x 10−5 Zoom Figure 4.5 – La dilatance du matériau M1 dans le plan des déformations déviatoriques et volumiques plastiques. où les deux paramètres b1 et b2 contrôlent, respectivement, la pente initiale et la courbure entre le passage de la pente initiale à l’asymptote. Ces paramètres sont b1 = 300 et b2 = 40000. La figure 4.4 montre que lors des essais, les courbes d’écrouissage sont loin d’avoir saturées ce qui se traduit par un critère de plasticité saturé bien au dessus des points mesurés (fig. 4.3). 

Direction d’écoulement 

À partir des déformations résiduelles obtenues lors de tous les essais (après extrapolation temporelle), on trace l’évolution de la dilatance définie comme le rapport β = ˙ε p v /ε˙ p d . On observe sur la figure 4.5 un comportement initialement contractant puis, en fonction du niveau du confinement, une phase de dilatance se terminant par la rupture de l’échantillon. En traction, seule une dilatance est observée. Ces courbes montrent donc qu’un écoulement plastique déviatorique seul n’est pas suffisant. La détermination du potentiel de dissipation, dont les dérivées donnent la direction d’écoulement, n’est pas indispensable. Une méthode indirecte, souvent pratiquée en mécanique des sols [41], est appliquée ici. La norme du tenseur des vitesses des déformations irréversibles ε˙ P est déterminée par la règle d’écoulement usuelle : ε˙ P = ˙ε p d + ˙ε p v = λ˙N = λ˙ ∂f 1 Q, å σå V 2 ∂σå (4.9) avec λ˙ est le multiplicateur plastique, calculé pour respecter la consistance ˙f = f = 0. De l’équation 4.9 on déduit l’expression de la direction d’écoulement N :  N = ó 3 1 + β 2 A σå d 3Qå + β 3 1 B (4.10) le taux de déformation plastique s’écrit alors : ε˙ P = λ˙N = λ˙ ó 3 1 + β 2 A σå d 3Qå + β 3 1 B (4.11) La dilatance correspond donc à la tangente à la courbe de l’évolution de la déformation plastique volumique en fonction de la déformation plastique déviatorique (fig. 4.5). La pression σå V et la déformation plastique p sont approximées, respectivement, à partir de la moyenne de deux états de contrainte consécutifs en fin de phase de relaxation et de deux états de déformation plastique consécutifs en fin de phase de recouvrance : σ V i = 1 σ V Bi + σ V Bi+1 2 /2 pi = 1 pDi + pDi+1 2 /2 Comme cela avait été le cas pour le modèle de V.D. Le, nous relions la dilatance à la déformation plastique cumulée et à la pression en nous appuyant sur les figures 4.6 et 4.7. Il est supposé une indépendance des variables p et σ V . D’où les relations suivantes : β 1 p, σV 2 = h(p) + l(σ V ) + c0, (4.12) l 1 σ V 2 = c1 1 1 − exp 1 c2σ V 22 + c3σ V , (4.13) h (p) = c4 · ln (1 + c5 · p). (4.14) Connaissant l’évolution de la dilatance en fonction de p, les courbes des essais ont été extrapolées pour définir les valeurs de la dilatance sur le seuil d’élasticité initial (carrés sur la fig. 4.6). Ces points, reportés dans le graphe de la dilatance en fonction de la pression déterminent les paramètres de la fonction l(σ V ) (trait plein sur la fig. 4.7). Ensuite, les paramètres de la fonction h(p) sont déterminés (traits sans symboles sur la fig. 4.6). Les paramètres du modèle élasto-plastique avec endommagement anisotrope sont rassemblés dans le tableau 4.2.