Modèle unidimensionnel (1D)

Modèle unidimensionnel (1D)

Le modèle unidimensionnel (1D) est basé sur le concept du front d’onde plan et par conséquent ne peut se propager que suivant un seul axe de propagation 1 . Les caractéristiques sont donc infinies suivant les deux autres axes du repère. Ce modèle impose les phénomènes à modéliser outre la propagation, qui sont du type réflexion et transmission sur un matériau à incidence normale. La polarisation a donc ici peu d’importance. Ce modèle 1D n’a pas la prétention ni ne peut modéliser un environnement électromagnétique vraiment complexe. Cependant il permet d’expérimenter et de simuler assez simplement certaines propriétés électromagnétiques tout comme le modèle de l’onde plane en physique. Le but du développement de ce modèle simple et modeste est donc la validation par la simulation de notre modèle électromagnétique. Pour cela, nous avons mis au point un ensemble de scénarios pour caractériser certaines propriétés de dispositifs telles que les coefficients de réflexion et transmission de matériaux diélectriques ou conducteurs avec ou sans pertes. Ce modèle 1D devra être comparé avec des outils de modélisation plus classiques voire à la théorie lorsque c’est possible. Les méthodes qui semblent les plus appropriées ici sont les méthodes numériques travaillant dans le domaine temporel, à savoir les méthodes du type FDTD ou TLM. Dans ce contexte, la comparaison avec ces méthodes devra faire l’objet d’une grande attention. En effet, il peut sembler assez difficile de comparer des méthodes dont les concepts sont radicalement différents. Ceci dit, d’une certaine manière, c’est aussi une bonne occasion pour mettre en avant les atouts d’une méthode par rapport à une autre. Nous devrons donc trouver des points de comparaison à ces méthodes. Aussi, les temps de simulation des dispositifs présentés pour ce modèle 1D étant quasi-instantanés 2 , ceux-ci ne seront pas mentionnés dans la suite. 9.1 Adéquation du modèle 1D Le modèle de propagation d’une entité (une onde ou plus particulièrement un paquet d’onde) électromagnétique dans son environnement, cf. Fig. 9.1 se doit d’être cohérent dans le temps et l’espace. Cela signifie qu’une entité doit se propager dans son environnement sans prendre de retard ni d’avance au cours de sa propagation. Le principe de la propagation d’une entité onde est illustré sur la Fig. 9.2. Une entité source est initialisée en un certain point au temps t = 0 par un ensemble de paramètres propres à la caractérisation de son paquet d’onde et définis ici par : . son amplitude E0 = 1 V/m . sa fréquence centrale f0 = 1 GHz . sa phase ϕ0 = π 2 rad . son écart-type σ0 = 1 f0 s Ce sont ces paramètres qui donnent à l’entité sa longueur suivant l’axe de propagation cf. Eqs. (A.26) et (A.27) de l’Annexe A. Les dimensions de l’entité suivant les autres axes sont arbitraires. Nous choisissons de les dimensionner de l’ordre de grandeur de la longueur de l’entité afin de la visualiser facilement dans l’environnement de simulation. Cette entité est créée par un générateur d’entités et est placée en un certain point dans son environnement. Il revient à l’utilisateur de déclencher le lancement, c’est-à-dire l’exécution, de la simulation ; à la suite de quoi l’entité « s’active » et commence à se propager (instant t > 0). Notons qu’il est possible de construire plusieurs environnements au sein d’une même simulation comme nous pouvons le voir sur les Figs. 9.1 et 9.2 où nous modélisons simultanément deux environnements de propagation « identiques », l’un constitué de cellules de lecture et l’autre d’une carte de champ. Aussi, nous définissons le pas temporel de lecture de nos instruments de mesure ∆t par : ∆t = 1 10 f0 =⇒ ∆t = 0, 1 ns

Validation du modèle électromagnétique par la simulation 

Nous avons développé plusieurs scénarios pour valider notre modèle électromagnétique. Nous allons, par la simulation, caractériser différentes structures par leurs coefficients de réflexion et transmission ; et ce pour différents types de matériaux diélectriques ou conducteurs, avec ou sans pertes. 9.2.1 Coefficients de réflexion et de transmission d’une lame diélectrique Ce premier dispositif de la caractérisation d’un matériau est composé d’une lame diélectrique, d’épaisseur d = 5 cm et de permittivité εr = 6, cf. Fig. 9.3. Ce milieu est supposé sans pertes et non-dispersif. Nous cherchons à déterminer par la simulation les coefficients de réflexion et transmission de cette lame diélectrique. Notre entité source est caractérisée par les paramètres suivants : . son amplitude E0 = 1 V/m . sa fréquence centrale f0 = 30 GHz . sa phase ϕ0 = π 2 rad . son écart-type σ0 = 1 f0 s Nous avons placé des cellules de lecture de part et d’autre de la structure pour lire les champs incident, réfléchi et transmis sur (et à travers) la structure. Le pas temporel de lecture de nos instruments de mesure est : ∆t = 1 10 f0 =⇒ ∆t = 3, 33 ps (9.2.1) Nos résultats sont comparés, cf. Fig. 9.4, aux expressions théoriques des coefficients de réflexion et transmission d’une simple lame diélectrique (cf. Annexe D). Ces résultats sont donnés sur une large bande de fréquence allant de 0 GHz à 10 GHz. L’erreur relative sur les zéros de réflexion est inférieure à 10−2 % sur toute la bande de fréquence. Cela signifie que cette méthode est sans dispersion numérique, ce qui n’est pas étonnant. En effet, contrairement aux méthodes numériques classiques telles que la FDTD ou la TLM, pour prendre typiquement des méthodes numériques temporelles, notre modèle ne requiert pas d’échantillonner l’espace d’analyse. Ce type de structure pourrait être modélisé facilement à l’aide de la FDTD ou de la TLM. Cependant, ces méthodes ont le désavantage de produire de la dispersion numérique, induite par l’échantillonnage du domaine d’analyse, ce qui limite la bande de fréquence d’observation. Aussi, cette erreur de dispersion augmente avec la fréquence. Cet échantillonnage spatial ∆l dépend de la fréquence maximale d’observation fmax et dans le cas d’une cellule cubique (∆x = ∆y = ∆z = ∆l), cela peut s’exprimer typiquement par une relation du type : ∆l . λmin 10 = c 10 fmax (9.2.2) ce qui nous donne, au vu de la largeur de bande de nos résultats pour fmax = 10 GHz, ∆l . 3 mm ; et si on voulait obtenir ces résultats pour fmax = 60 GHz cela donnerait ∆l . 0, 5 mm. Pour ce dispositif 1D d’épaisseur d = 5 cm, cela conduirait à échantillonner le dispositif (diélectrique uniquement) par un nombre de cellules ∼ 15 resp. ∼ 100 auquel il faudrait bien entendu ajouter des cellules pour la propagation dans l’air. Il faut ajouter à ceci la condition sur le pas temporel pour garantir la stabilité de l’algorithme, et donnée par une relation du type : ∆t . ∆l c (9.2.3) ce qui nous donne respectivment ∆t . 10 ps et ∆t . 1, 67 ps. De plus, ces méthodes nécessitent de définir des conditions aux limites adéquates pour simuler l’espace libre ; on pense notamment aux PML.Notre modèle permet la caractérisation de ce type de structure sur une très large bande de fréquence sans difficultés. Nous avons simplement limité la fenêtre d’observation entre 0 GHz et 10 GHz pour pouvoir comparer et observer aisément les résultats. Notre modèle rend possible la caractérisation des coefficients de réflexion et de transmission sur l’ensemble du spectre électromagnétique allant de 0 GHz à 300 GHz, pour ce type de milieu sans pertes et non-dispersif. Aussi, nous n’avons pas mis en défaut la stabilité de notre modèle. Nous n’utilisons pas à proprement parler un pas temporel de simulation mais plusieurs pas temporels. Ainsi le pas temporel de l’activité de déplacement d’une entité électromagnétique n’est pas le même que celui de l’activité de lecture d’une cellule (de lecture) qui peut être différent 127 Modèle unidimensionnel (1D) de celui de l’activité de mise à jour d’une carte de champ. Chaque entité, chaque activité possède son propre pas temporel de mise à jour. De plus, notre modèle ne nécessite pas de définir de conditions aux limites particulières pour simuler l’espace libre. L’environnement est naturellement ouvert et ce sont les entités qui décident d’elles-mêmes du moment où elles vont être supprimées. Par principe, ce dispositif constitué d’une lame diélectrique n’a pas de limitations quant aux dimensions des entités qui peuvent être plus grandes que celles de la lame. Ceci dit, nous choisissons de définir un critère à respecter pour s’assurer du bon déroulement des interactions et notamment pour le traitement de dispositifs multi-couches que nous allons voir par la suite. Ce critère peut s’énoncer ainsi : Critère de dimensionnement des entités La dimension spatiale d’une entité doit être au maximum de l’ordre de grandeur des dimensions de la plus petite structure. 

Coefficients de réflexion et de transmission d’une couche de diélectriques 

Nous allons maintenant complexifier le dispositif précédent en ajoutant plusieurs lames diélectriques de façon à obtenir une structure multi-couche. Les milieux diélectriques sont toujours supposés sans pertes et non-dispersifs. Cette structure, cf. Fig. 9.5, est constituée de trois lames successives caractérisées chacune par : . lame 1 : épaisseur d1 = 5 cm, permittivité εr1 = 4. . lame 2 : épaisseur d2 = 5 cm, permittivité εr2 = 6. . lame 3 : épaisseur d3 = 5 cm, permittivité εr3 = 8.Notre entité source est caractérisée par les paramètres suivants : . son amplitude E0 = 1 V/m . sa fréquence centrale f0 = 30 GHz . sa phase ϕ0 = π 2 rad . son écart-type σ0 = 1 f0 s Nous avons placé des cellules de lecture de part et d’autre de la structure pour lire les champs incident, réfléchi et transmis sur (et à travers) la structure. Le pas temporel  de lecture de nos instruments de mesure est : ∆t = 1 10 f0 =⇒ ∆t = 3, 33 ps (9.2.4) La théorie étant plus fastidieuse à mettre en œuvre pour ce type de dispositif, nous choisissons de comparer nos résultats, cf. Fig. 9.6, avec le logiciel MEFiSTo-2D ClassicTM 3 qui est un logiciel — performant et libre — de simulation électromagnétique pour l’analyse de structures bidimensionnelles (2D). Notons qu’il existe également une version tridimensionnelle (3D) de ce logiciel. Celui-ci est basé sur la méthode TLM et est donc à ce titre un simulateur temporel de phénomènes de propagation électromagnétique. De la même manière que précédemment, nous cherchons à caractériser ce dispositif par ces coefficients de réflexion et transmission. Les simulations avec MEFiSTo-2D ClassicTM ont été effectuées pour un échantillonnage de l’espace d’analyse avec des cellules de dimension ∆l = 10 mm (maillage grossier) et ∆l = 1 mm (maillage affiné), ce dernier étant suffisamment fin pour nous servir de référence. Nous pouvons observer très nettement la convergence des résultats du logiciel de simulation suite à l’affinage du maillage, cf. Fig. 9.6. Nos résultats concordent très bien avec ceux du maillage de référence (à ∆l = 1 mm) du logiciel de simulation et ce sans avoir à paramétrer différemment notre modèle. C’est la dispersion numérique de la méthode TLM qui entraîne une erreur de convergence. Cette erreur dépend de l’échantillonnage et augmente avec la fréquence, ce qui s’observe très bien sur la Fig. 9.6 par rapport aux deux maillages à ∆l = 10 mm et à ∆l = 1 mm, entre les basses fréquences pour f < 1 GHz et les hautes fréquences pour f > 1 GHz . Notons qu’ici aussi, nous avons simplement limité la fenêtre d’observation entre 0 GHz et 2 GHz pour pouvoir comparer et observer aisément les résultats. Notre modèle rend possible la caractérisation des coefficients de réflexion et de transmission sur l’ensemble du spectre électromagnétique allant de 0 GHz à 300 GHz, et ce de manière « exacte » au vu de nos résultats. 

Coefficient de réflexion d’une lame métallique à pertes

Les dispositifs précédents étaient illuminés par un paquet d’onde plane (monoporteuse). Cependant, ce modèle ne permet pas de tenir compte de milieux à pertes et dispersifs. Pour cela, il est nécessaire de décomposer ce paquet d’onde plane (monoporteuse) en un paquet d’ondes planes (multiporteuses), cf. Annexe C. Notre dispositif d’étude est une paroi métallique à pertes constituée de cuivre et dont la conductivité est σ = 58.106 S/m, cf. Fig. 9.7. La dimension (l’épaisseur) de la paroi n’a pas d’importance ici dans notre modèle puisque aucune onde ne sera transmise à travers ce type de matériau. Nous nous intéressons uniquement à la réflexion sur cette structure  Notre entité source est caractérisée par les paramètres suivants : . son amplitude E0 = 1 V/m . sa fréquence centrale f0 = 20 GHz . sa phase ϕ0 = π 2 rad . son écart-type σ0 = 1 f0 s Nous avons placé un point de lecture pour lire le champ incident et le champ réfléchi sur la structure. Le pas temporel de lecture de notre instrument de mesure est : ∆t = 1 10 f0 =⇒ ∆t = 5 ps (9.2.5) Nos résultats sont comparés à la théorie (Eq. (9.2.7)), cf. Fig. 9.8. L’impédance intrinsèque d’un très bon conducteur est définie par la relation : Zc = (1 + j) r ωµ 2 σ (9.2.6) avec . σ est la conductivité du matériau. . ω est la pulsation. . µ = µ0µr est la perméabilité du milieu où : . µ0 est la perméabilité du vide. . µr est la perméabilité relative du milieu définie telle que µr = 1 car nous travaillons dans l’hypothèse de milieux non-magnétiques. Le coefficient de réflexion s’exprime par la relation suivante : R(ω) = Zc − Z0 Zc + Z0 (9.2.7) où Z0 est l’impédance intrinsèque du vide. Ceci nous permet de tracer le module et la phase du coefficient de réflexion théorique d’une paroi métallique à pertes. La prise en compte de matériaux à pertes dans notre modèle est basée sur une décomposition spectrale à un ordre N d’un paquet d’onde en un paquet d’ondes. L’entité source initiale est donc décomposée en N 4 entités sources pondérées par des coefficients que nous déterminons via une procédure numérique du type MoM, décrite avec force et détails dans l’Annexe C. Plus ce paquet est composé d’un nombre important d’ondes, ce qui augmente également le nombre d’entités, et plus son contenu spectral global sera « riche ». Aussi, le contenu spectral de chaque onde est défini sur un sous-domaine de la largeur de bande du paquet d’onde initial, ce qui a pour conséquence d’élargir l’impulsion dans le domaine temporel. Ceci signifie que les entités associées au paquet d’ondes seront spatialement plus larges que l’entité initiale.