Modèle statistique en domaine temporel de la réverbération dans les plaques

 Description statistique basée sur les source-images 

Comportement statistique des paquets d’onde

Nous considérons ici une plaque finie de surface S, de faible atténuation, soumise à une excitation acoustique s0(t) de courte durée T par point source S (Figure 2.1). Cette source est considérée comme isotrope et donc les ondes émises par celle-ci présentent des fronts d’onde cylindriques (propagation bidimensionnelle). Par souci de simplicité, nous allons considérer un seul mode guidé se propageant dans la plaque. Cette hypothèse est réaliste lorsqu’on travaille à des valeurs suffisamment faibles du produit fréquence-épaisseur, pour lesquelles il n’existe que le mode de flexion (A0) et le mode symétrique (S0).

De plus, pour une force normale appliquée en surface, c’est le mode A0 qui est dominant [19]. Nous pouvons noter que dans ces conditions, A0 est assimilable aux ondes de flexions modélisées par le modèle de Kirchhoff-Love mentionné dans la section 1.2 au chapitre 1. e signal reçu par un récepteur R à la surface de la structure est constitué d’un signal de propagation directe h D(t) = s(r0, t) de la source au récepteur et une partie réverbérée h R(t) correspondant à une série de réflexions sur les bords de la plaque : h(t) = s(r0, t) + h R (t), (2.1) où s(r, t) est un signal reçu après propagation (dispersive) sur une distance r (r est une valeur particulière de ri) et r0 correspond à la distance entre la source et le récepteur (voir la figure 2.1)

. Le signal réverbéré h R(t) est exprimé comme étant la somme des paquets d’onde issus des source-images [77] (S 0 i , voir figure 2.1), d’où la présence de plusieurs paquets d’onde espacés dans le temps, comme nous illustrons dans la figure 2.2. Nous décomposons la distance de propagation r en petits intervalles ∆ri , dans le but d’avoir au maximum un paquet d’onde par intervalle ∆ri . Ceci peut se traduire littéralement sous la forme : h R (t) = X∞ i=1 κi sR(ri , t)

Espérance mathématique de l’enveloppe des signaux

Dans cette section, nous allons dériver l’expression de la moyenne des enveloppes au carré des signaux reçus à la surface de la structure. Ensuite, cette expression est validée par une comparaison avec des signaux réverbérés calculés numériquement. Considérons un signal s0(t) de courte durée T et filtré à bande étroite centré sur ω0 (sinus fenêtré) émis par une source S dans une plaque rectangulaire réverbérante. Nous appelons s(r, t) le signal reçu par le récepteur R après propagation sur une distance r dans le milieu complexe et sR(r, t) le signal reçu après un nombre de réflexions NR(r) sur les bords de la plaque.

Ce dernier est modélisé par la méthode des source-images, ainsi pour une plaque infini, chaque source-image à une distance r du récepteur envoie un paquet d’onde s(r, t) qui est multiplié par le coefficient de réflexion ρ. Les transformées de Fourier des signaux s(r, t) et sR(r, t) après propagation cylindrique de l’unique onde de Lamb considérée sont données respectivement par : s˜(r, ω) = B(ω) a(r) e −γ(ω) r s˜0(ω) e −jkd(ω) r , (2.9) et s˜R(r, ω) = ρ(ω) ˜s(r, ω), (2.10) où B(ω) est un terme lié à l’excitation acoustique de la plaque

(dû à la conversion du signal d’excitation émis en signal acoustique, fonction de transfert de l’émetteur et du récepteur), qui dépend de la fréquence. γ(ω) coefficient d’atténuation, ˜s0(ω) est la transformée de Fourier du signal émis s0(t), kd(ω) est le nombre d’onde en fonction de la pulsation ω (loi de dispersion) et a(r) est un terme d’atténuation géométrique qui dépend de la distance de propagation (1/ √ r dans le cas d’une structure bidimensionnelle).

ρ(ω) est le produit des coefficients de réflexion sur les parois du milieu, qui dépend de la fréquence et du nombre de réflexions : ρi(ω) = |ρi(ω)| e jϕi(ω) = Y Ni z=1 |αz(ω)| e −j PNi z=1 δz(ω) , (2.11) où Ni est l’ordre de réflexion moyen et ϕi(ω) est le déphasage pour la i ème source-image. αz(ω) est le module du coefficient de la z ème réflexion pour un terme de déphasage δz(ω). Par souci de simplification, nous assimilerons αz à sa valeur moyenne α0 sur toutes les réflexions, dans la bande de fréquence de travail (bande étroite centrées sur ω0). Ceci sera justifié ultérieurement par la prise de l’espérance mathématique de l’enveloppe au carré des signaux reçus