Modèle probabiliste du processus de réplication d’une molécule d’ADN

Cours modèle probabiliste du processus de réplication d’une molécule d’ADN, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

Introduction

Dans cette Note, nous nous intéressons à plusieurs v.a. introduites par Cowan et Chiu dans un modèle probabiliste du processus de réplication d’une molécule d’ADN, (voir aussi). Rappelons brièvement ce dernier modèle. Dans le mécanisme de réplication d’une molécule d’ADN, l’un des deux brins (modélisé par la demi-droite [0,+∞)) se sépare de l’autre progressivement de la gauche vers la droite à la vitesse r. L’opération de reproduction s’effectue dans le sens opposé à la vitesse c ; elle est en fait amorcée à partir de certains sites (sites promoteurs) lorsque ceux-ci sont découverts après la séparation. Cette opération produit alors des fragments d’ADN. Dans le modèle de Cowan et Chiu, les sites promoteurs sont localisés le long de [0,+∞) selon un processus de Poisson spatial d’intensité µ et leur apparition au cours du temps est donc un processus de Poisson temporel d’intensité λ=rµ. Lorsqu’un fragment atteint son voisin de gauche, on estime qu’il faut rajouter un temps δ>0 pour consolider la jonction; l’évolution de ce fragment est alors terminée. Le nouveau brin d’ADN ainsi formé est constitué de deux parties :
– un brin (le «continent») obtenu par concaténation depuis l’origine 0 de tous les fragments qui sont définitivement liés à leurs voisins de gauche. Le continent est donc relié à l’origine; – les segmentsrestants quine sontpas encore reliés au continent,ce sont les fragmentsd’Okazaki(ou les «îles»). Les interstices entre ces fragments constituent l’«océan».
Cowan et Chiu ont introduit les quantités suivantes :
– le nombre Nt de fragments d’Okazaki existant à l’instant t ; – la longueur Pt des tous les nouveaux morceaux d’ADN à l’instant t (continent inclus); – la distance Dt entre la frontière de séparation et l’extrémité droite du continent à l’instant t. Introduisons également la longueur Pt =rt−Pt de tous les interstices entre les fragments d’Okazaki à l’instant t. Cowan et Chiu, [4], ont calculé les moyennes asymptotiques limt→∞E(Nt) et limt→∞E( Pt) en faisant appel à la théorie du renouvellement. Puis ils ont obtenu une équation intégrale pour E(Dt) qui se situe dans le cadre général des équations de quasi-renouvellementintroduites et étudiées par Piau, [6,7]. Ce dernier a alors pu évaluer la limite à l’infini de E(Dt), faisant apparaître des produits infinis utilisés dans la théorie des partitions, [1]. Cowan, [2], calcule ensuite la fonction génératrice asymptotique de la v.a. Nt lorsque t tend vers∞dans le cas δ=0.