Modélisation de la Machine Asynchrone

Vu la forte utilisation de la machine asynchrone à cage d’écureuil, et la présence de certaines contraintes qui nous pouce à ne pas utiliser de capteurs (à savoir la cherté de ces capteurs, inaccessibilité, et l’encombre des appareils), il serait un bon exemple d’application de la modélisation, de l’estimation et de la commande par observateur d’état. Par définition, la modélisation d’un système consiste à prédire sa réponse à une excitation donnée. Le but alors est de trouver des relations mathématiques entre les variables d’entrée et de sortie. Afin de pouvoir développer de telles relations, on a maintenu l’ordre de modèle du système à quatre (4) dont on a supposé que le système est linéaire et non dépendant de la variation de la vitesse qui est prétendue fixe. Au début du 20ème siècle et jusqu’aux années trente, la modélisation d’une machine électrique était basée sur l’élaboration de schémas équivalents dérivés de la théorie de champ transversal ou du champ tournant. Les équations présentées dans l’espace d’état permettent en outre de calculer la performance de la machine électrique en régime permanant à l’aide d’une formulation complexe, ou dans régime transitoire à l’aide d’une formulation opérationnelle. Ensuite, les méthodes matricielles d’analyse des machines sont développées et devenues les bases pour les approches de la modélisation, de simulation, d’identification et de la commande. Cependant toutes ces théories qui conduisent à la machine généralisée ont été élaborées sous des hypothèses simplificatrices.

Estimation d’état de la Machine Asynchrone

Dans ce chapitre on va présenter la notion de bases d’un estimateur d’état ainsi nous citrons les différents types d’estimateurs en se basant sur l’observateur de Luenberger. La machine asynchrone a toujours été appréciée du monde industriel en raison de son faible coût, de sa robustesse, et de sa fiabilité. Sa simple conception s’accompagne toutefois d’une grande complexité du modèle physique. Cette complexité est liée aux interactions électromagnétiques entre le stator et le rotor, la non accessibilité dans toutes les grandeurs d’état ou des sorties utilisable, pour des raisons technique (absence de capteurs) ou pour des raisons économiques (coût très élève) ajoute une complexité supplémentaire pour l’élaboration de la commande des machines électriques. Le problème posé est donc de déterminer, à partir des seules grandeurs déjà mesurées telles que les courants et les tensions statoriques, les grandeurs non mesurables telles les flux statoriques ou rotoriques et les courants rotoriques. Les techniques d’estimation des variables d’état peuvent reconstruire ces variables non mesurables par utilisation :

● Des estimateurs classiques en boucle ouverte.

● Des estimateurs modernes (observateurs) en boucle fermée.

Les techniques d’estimation reposent sur l’utilisation d’une représentation de la machine sous forme d’équations d’état définie dans le repère de Park. En régime permanent (estimateur statique) ou en régime transitoire (estimateur dynamique), ces techniques permettent de reconstituer le comportement des variables non mesurables à partir des seules mesures disponibles. Dans le cas où les mesures disponibles sont entachées d’erreur du type appareils de mesures ou capteurs un observateur stochastique du type filtre de Kalman est utilisé. L’observateur déterministe, dit aussi observateur de Luenberger, permet de reconstituer l’état d’un système à partir de la mesure des entrées et des sorties ne tenant pas compte des éventuels bruits ou erreurs de mesures. Les techniques d’observation d’état sont utilisées dans la commande par retour d’état lorsque tout ou partie du vecteur d’état ne peut être mesure. Actuellement ces techniques constituent la base des technique avancées de commande sans capteurs et de surveillance des systèmes . Dans ce qui suit nous allons présenter le cas général utilisant le filtre de Kalman que nous allons ensuite particulariser au cas déterministe utilisant l’observateur de Luenberger. Mais tout d’abord définissons les notions d’observabilité et de commandabilité d’un système multivariable.

Principe de l’estimateur de Kalman. Le filtre de Kalman donne une réalisation de la variable aléatoire (t) représentant l’état du système (t) à l’instant t, qui minimise la variance a priori de l’erreur d’estimation, connaissant le vecteur de mesure (t)= ( , … ). Pour cela il utilise un modèle stochastique d’un système d’ordre n définie par les équations d’observation et d’états suivantes : Où ( ) et ( ) sont les signaux d’entrées et de sorties, ( ) est le vecteur d’état du système, ( )et ( ) sont les bruits d’états du système et de mesure des capteurs. Les matrices , , , et sont de démentions appropriées. Les bruits ( ) et ( ) sont généralement définis par leurs propriétés statistiques de la manière suivante : [ ( )] = [ ( )] = 0 Var[W(t)]=Q Var[V(t)]=R et Cov[W(t)V’(t)] = S Où E [ ] représente l’espérance mathématique c’est-à-dire la valeur moyenne de la variable considérée. Var [ ] représente sa variance et Cov[ ] représente sa covariance.

Le problème de l’observation est de reconstruire tout ou une partie du vecteur d’état ( ) lorsque toute ou une partie de ce vecteur d’état est non mesurable. Cette technique fait réduire le coût des systèmes d’entrainement et augmente leurs fiabilité en utilisant moins de capteurs. Dans le cas où une partie seulement du vecteur d’état est non mesurable l’observateur est dit d’ordre réduit. L’observabilité d’un système définie la possibilité de mesure sur le système réel. Si un système est observable, il est possible de reconstruire son état à partir des mesure d’entrées et de sorties ( ) et ( ). Connaissant les matrices et l’intérêt de cette reconstruction est multiple, il consiste à obtenir certaines composantes du vecteur d’état pour lesquelles la mesure est difficile, impossible ou très coûteuse. L’observation des systèmes en utilisant le filtre de Kalman consiste à estimer l’état du système stochastique modélisé par les relations (II-1) et (II-2) d’une manière récursive de façon à être mis en oeuvre en temps réel. Dans sa version étendue, il permet d’estimer aussi les paramètres variables ou inconnus d’un système.

Commande par observateur d’état

Nous avons vu dans les paragraphes précédents que la loi de commande d’un système se ramenée, en général, à une commande par retour d’état. Pour mettre en oeuvre ce type de commande il est nécessaire de disposer des capteurs permettant de mesurer des variables ou composantes du vecteur d’état. Lorsque tout ou une partie du vecteur d’état est non mesurable, il est possible de remplacer le vecteur d’état non mesurable ( ) par son vecteur d’état estimé ou reconstruit (k). Deux orientation peuvent être considère : – Le vecteur d’état estimé (k) est obtenu à partir de l’exploitation des mesures prélevées sur les entrées et les sorties d’un système déterministe, dans ce cas on parle de l’observateur de Luenberger. La loi de commande élaborée dans ce cas est dite commande par observateur d’état. – Le vecteur d’état estimé (k) est obtenu à partir de l’exploitation des mesures prélevées sur les entrées et les sorties d’un système stochastique où les bruits qui affectent le système ont une importance considérable sur la dynamique du système, dans ce cas on parle d’observateur de Kalman ou plus exactement du filtre prédicteur de Kalman.

La loi de commande élaborée dans ce cas est une loi de commande stochastique. Et nous de notre cas en choisis la commande par observateur d’état, car notre système est déterministe. La commande sans capteurs est une technique moderne de la commande des systèmes modéliser dans l’espace d’état, soit avec la commande par retour d’état qui permet de suivre l’évolution de l’état du système à partir des conditions initiales non nulles ou suite à l’application d’une perturbation, ou soit par la commande par observateur d’état qui peut être mise en oeuvre lorsqu’une partie ou l’ensemble du vecteur d’état est non mesurable. Et cette commande à pour objectif de diminuer le nombre de capteurs à utiliser dans une application industrielle ce qui permet d’augmenter la fiabilité et la robustesse du système d’entrainement tout en diminuant son prix d’achat, l’idée de base de cette commande consiste à remplacer un certain nombre de capteurs matériels par des capteurs dits capteurs logiciels, c’est-à-dire des programmes.

Conclusion générale

Dans ce rapport nous avons étudié et simuler l’observateur linéaire de Luenberger pour estimer les grandeurs électriques de la machine asynchrone, qu’est concrétisé sous MATLAB (par programmation) pour l’utiliser à la commande sans capteurs, et nous avons pu conclure à la fin que cette technique de commande peut apporter beaucoup d’amélioration sur les performances des machines asynchrones on lui offrant des avantages sur les plans techniques et économiques. Alors cette théorie va nous permettre de rendre la machine asynchrone plus solide et attractive vu les avantages que peut nous fournir comme la robustesse et la fiabilité, notre étude porte à ajouter à cette machine d’autres avantages à savoir une maintenance peu coûteuses et peu fréquente et l’allégement de l’encombrement embarrassant, donc sans complication de montage et de maintenance et procure à la machine une facilité de commande et une réduction du nombres de capteurs . En effet la diminution de nombres de capteurs (les sondes à effet hall et …) rend la machine d’une simplicité et efficacité incomparable.

La commande sans capteurs est une technique moderne de la commande des systèmes en boucle fermé, modélisés dans l’espace d’état. Elle utilise un observateur qui travail dans un environnement déterministe qui est l’observateur de luenberger L’idée de base de cette commande consiste a estimer les grandeurs du vecteur d’état multiplier par un gain de retour pour avoir une commande très robuste a cause de l’élimination des capteurs matériels et les remplaces par des capteurs logiciels c’est-a-dire des programmes ou algorithmes . Il est évident que ceci diminue le nombre de défaillance des systèmes d’entraînements mettant en ouvres ce type de capteurs. L’objectif de notre travail est d’appliquer la technique d’estimation à la commande sans capteurs dans l’espace d’état de la machine asynchrone. Les résultats obtenus sont satisfaisantes et le travail reste pour l’application de cet observateur a la commande sans capteur ainsi dans le cas ou le system est non linéaire pour l’estimation des paramètres ou l’état de la machine. En outre, paramètres peuvent varier sous l’influence de la température et la saturation (résistance rotorique) il est donc important de les estimer en temps réel.