Modèle de Szeri

Szeri considère que les gouttes d’huile ont un diamètre dont la valeur est négligeable devant la taille de l’entrefer. Dès lors, les interactions prépondérantes seront celles existant entre les deux liquides en présence : les interactions liquide(s)-parois étant de fait secondaires. Le modèle se décline en un problème à deux champs (voir chapitre n°1 § III.2.).Le système est composé de deux équations dont les inconnues sont les dérivées de la pression et du taux d’huile. Ces deux équations sont de la même forme : la première traduit le comportement de l’huile, tandis que la deuxième traduit le comportement de l’eau. Ces équations ressemblent fortement à l’équation de Reynolds : les termes en φ sont là pour rendre compte du caractère diphasique du problème. Les termes Ψi, fonctions de la pression et du taux d’huile, traduisent le couplage des équations et rendent compte de l’interaction existante entre l’huile et l’eau. Les équations du système (2.121) sont du deuxième ordre. Dans un souci de simplicité, elles ont été intégrées et ce sont les équations du premier ordre (2.122) ainsi obtenues qui ont été résolues.

Méthode de résolution

L’intégration est rétrograde : hn=hcp. La valeur de hcp et de φcp est fixée de manière arbitraire. Une fois hcp et φcp fixées, il est aisé de connaître la valeur de la pression et de la concentration tout le long de l’emprise. Cependant, le couple (hcp,φcp) testé est le bon, si la pression est nulle et si φ=φ0 en h=hm. (Voir au paragraphe suivant les considérations qui président à la désignation de la valeur de hm). Par conséquent un double tir sur hcp et φcp est nécessaire (fig. n° 2.46-2.47).

Résultats du modèle

Un point positif de ce modèle (voir fig. n°2.49) est qu’il y a bien une augmentation, non négligeable, de la concentration en huile : celle-ci passe en effet de 10 % à 50 %. Cependant, si la concentration croît jusqu’à 50 %, elle n’atteint que 50 %, alors que la concentration initiale est (avec 10 %) cinq fois supérieure à la concentration des émulsions habituellement utilisées dans l’industrie. Aux basses vitesses, le modèle montre que la concentration passe de 10 % à 50 %. Il n’y a donc pas formation d’une réserve d’huile, alors que le taux d’huile initial est cinq fois supérieur aux taux d’huile généralement utilisés dans l’industrie. L’épaisseur du film né de l’émulsion n’est jamais égale à celle du film né de l’huile entière. Dans le sens où l’épaisseur de l’émulsion reste irrémédiablement parallèle (plus ou moins) en log-log aux courbes de l’huile et de l’eau, l’existence de la vitesse critique Uc1 (vitesse de bifurcation des courbes d’épaisseur) n’est pas mise en évidence. Bref, ce mécanisme, s’il ne doit pas être négligé, semble être de second ordre, dans cette gamme de vitesses. Aux hautes vitesses le bilan est beaucoup plus positif. En effet, le modèle permet de retrouver le décalage existant entre la courbe de l’huile et la courbe de l’émulsion. L’expérience de Zhu (fig. n°1.18) montre que ce décalage est d’autant plus important que le taux d’huile initial est grand. Un résultat qualitativement retrouvé par le modèle (fig. n° 2.50).