MODELE DE FRACTURE COHESIVE ET PROPAGATION HYDRO-MECANIQUE DES FRACTURES

MODELE DE FRACTURE COHESIVE ET PROPAGATION HYDRO-MECANIQUE DES
FRACTURES

Description du modèle

Dans cette section, en se basant sur la théorie de l’endommagement et notamment sur le modèle de fracture cohésive proposée par Pouya et Bemani Yazdi (2015), un nouveau modèle conceptuel endommagement-élastique est proposé pour des interfaces de comportement passant de quasi-fragiles à ductiles. Le modèle de Pouya et Bemani Yazdi (2015) étend le modèle de Carol et al. (1997) en incluant l’évolution de la cohésion de la fracture, la résistance en traction ainsi que des raideurs élastiques avec endommagement. Dans le nouveau modèle, la plasticité n’est pas prise en compte. Les principaux aspects de ce modèle sont les suivants : Sous chargement de traction/compression : – comportement linéaire élastique avant le pic de contrainte – radoucissement et diminution de la résistance en traction avec déplacement après le pic – dégradation de la raideur après le pic – dégradation totale de la raideur et de la résistance en traction après l’endommagement entier – raideur résiduelle en compression sous une forme non-linéaire jusqu’à une raideur résiduelle Sous chargement de cisaillement : – comportement linéaire élastique avant le pic de contrainte  – radoucissement et diminution de la résistance au cisaillement avec le déplacement après le pic – dégradation de la raideur après le pic – dégradation totale de la raideur et de la résistance au cisaillement après l’endommagement entier Pour ce modèle, sous chargements mécaniques purs les contraintes normale ( σn ) et tangentielle ( τ ) sont reliée aux raideurs de la manière suivante : τ σ tt tn t n nt nn n k k u k k u                    (4.1) où tt k et nn k représentent respectivement les raideurs tangentielle et normale du joint, tn k et nt k sont supposées nulles, ce qui signifie l’absence de la dilatance ainsi que l’effet de la contrainte normale (ou tangentielle) sur le déplacement tangentiel (ou normal) dans le domaine élastique. t u et n u sont respectivement les déplacements tangentiel et normal.

Définition de la variable d’endommagement

Dans ce modèle, la variable d’endommagement, notée D, est définie comme le rapport entre la surface totale endommagée ( D S ) et la surface totale initiale des ponts rocheux ( i B S ) (voir Figure 4-1). Pour des joints rocheux, il n’y a qu’un seul plan sur lequel la densité des fissures puisse être considérée et cela simplifie la définition de la variable d’endommagement et la réduit à une variable scalaire. Figure 4-1 – Variable d’endommagement D définie comme le rapport entre la surface totale endommagée et la surface totale initiale des ponts rocheux. La surface des ponts rocheux initiale 0 B S diminue à D S avec endommagement (Pouya et Bemani Yazdi, 2015). i D S S  D B (4.2) Par sa définition, la variable d’endommagement évolue entre 0 (à l’état sain/vierge, 0 D S  ) et 1 (à l’état totalement endommagé, i D B S S  ). Lors de l’endommagement, la surface Plan de discontinuité SB 0 SD SB i SD  endommagée D S est crée et développée. Ainsi la surface effective eff S qui est soumise aux sollicitations diminue. Cette surface effective a pour expression : i eff B D S S S   (4.3) Dans le cas de chargement unidimensionnel et de l’endommagement isotrope, la contrainte effective, notée σ , est définie en se basant sur le principe de l’équilibre de force (Rabotnov, 1968) : la force résultante de l’état vierge et celle de l’état endommagée dans une même structure doivent rester strictement identique. Ce principe se traduit par la relation suivante : σ σ i F S S   B eff  (4.4) En introduisant l’Eq. (4.3) dans l’expression (4.4), la contrainte effective s’obtient : σ σ 1     D (4.5) Il est évident de noter que σ σ   . Il suffit de travailler avec la contrainte effective  pour y intégrer automatiquement les effets de l’endommagement. En tenant compte de l’Eq (4.5), l’Eq. (4.1) devient :   τ 1 σ tt tn t n nt nn n k k u D k k u                     (4.6) La matrice elle-même peut être également endommagée sous chargements appliqués. L’étude de l’endommagement tenant compte de la rupture macroscopique a été initiée par Kachanov (1958) pour des métaux. Lemaître (1971) a proposé le principe d’équivalence en déformations en postulant que l’équivalence en déformation entre la roche saine de module E , supportant une contrainte effective  et la roche de module effective E sollicité par une contrainte  . D’où :      E E   (4.7) En introduisant l’Eq. (4.5) dans l’Eq. (4.7), la variable d’endommagement peut être définie via le module E de la manière suivante : D E E  1  (4.8) La relation (4.8) permet d’estimer la variable d’endommagement par des essais de décharge en mesurant des modules sécants successifs E . 4.2.2 Modèle de fracture cohésive avec élasticité non linéaire Dans la relation (4.6), à l’état d’endommagement ultime ( D 1), les raideurs s’annulent et le joint ne résiste plus. Or, l’Eq. (4.6) ne prend pas en compte la raideur résiduelle en compression sous une forme non-linéaire comme décrite précédemment. Ainsi, il convient d’ajouter un terme dans l’Eq. (4.6) pour présenter cette raideur résiduelle. Il est à noter que C dans la bibliographie, les lois cohésives peuvent être dérivées à partir d’un potentiel u u n t ,  qui vérifie un certain nombre de propriétés (Needleman, 1987 ; Park et Paulino, 2012 ; parmi d’autres). Ainsi, l’expression des contraintes dans le modèle cohésif se détermine en dérivant le potentiel u u n t ,  selon ses deux composantes de déplacement. Dans le cadre de ce travail, le potentiel proposé doit vérifier les propriétés suivantes : – (i) les dérivées premières du potentiel  doivent avoir la dimension d’une contrainte. – (ii) le comportement en compression de la fracture cohésive est élastique non-linéaire sous la forme analogue de celle de la loi de Bandis et al. (1983). – (iii) les dérivées deuxièmes du potentiel  doivent avoir la dimension d’une raideur. – (iv) les dérivées (deuxièmes) croisées du potentiel  selon n u et t u doivent être strictement identiques. Ces dérivées croisées non-nulles représentent un comportement dilatant sous chargement en cisaillement. – (v) les pentes de la courbe du comportement normal pour deux parties (compression et traction) doivent être continues en u  0 . En se basant sur l‘Eq. (4.6) et des descriptions ci-dessus, les équations constitutives du modèle des contraintes normale et tangentielle s’écrivent :  où le potentiel u u n t ,  est proposé de la manière suivante :  Dans l’équation (4.10), n u est le déplacement normal du joint, e est la fermeture minimale du joint, tR k and nR k sont deux termes pour décrire le comportement résiduel du joint sous chargement de cisaillement et compression, s est un paramètre utilisé pour différencier les deux cas de chargement : – pour le cas de traction (i.e. 0 n u  ) : comme la raideur normale et la résistance en traction sont totalement dégradées, ainsi s  0 . – pour le cas de compression (i.e. 0 n u  ) : comme la raideur en compression est sous une forme non-linéaire et tend vers une valeur résiduelle fixe donnée, s 1. Les dérivées premières du potentiel  s’écrivent : 2 Dans l’expression (4.11), si 0 n    e u , on en déduit que 0 1 1 n    u e et ln 1 0 n   u e . Ainsi, tous les deux termes de l’Eq. (4.11) sont négatifs, ceux qui représentent la chute de contrainte (i.e. la dégradation des propriétés mécaniques de joint avec l’endommagement). Lorsque n u e   , la partie 1 n  u e change brusquement de signe, pour maintenir la stabilité, la condition suivante est introduite :  La condition (4.12) impose que la quantité 1 n  u e est toujours positive. Les équations (4.10) et (4.11) peuvent être simplifiées en supprimant le signe de valeur absolue. Il est évident que selon l’Eq. (4.11) les propriétés (i) et (iv) mentionnées auparavant sont vérifiées. Les dérivées deuxièmes du potentiel  s’écrivent :