Modèle de Black et Scholes

Description du modèle 

L’évolution des cours

Le modèle proposé par Black et Scholes pour décrire l’évolution des cours est un modèle à temps continu avec un actif risqué (une action de prix St à l’instant t) et un actif sans risque (de prix S o t à l’instant t.) On suppose l’évolution de S o t régie par l’équation diférentielle (ordinaire) suivante : dSo t = rSo t dt (1) où r est une constante positive. Cela signifie que le taux d’intérêt sur le marché des placements sans risque est constant et égal à r (noter que r est ici un taux d’intérêt instantané, à ne pas confondre avec le taux sur une période des modèles discrets). On posera S o o = 1, de sorte que S o t = e rt , pour t ≥ 0. On suppose que l’évolution du cours de l’action est régie par l’équation différentielle stochastique suivante : dSt = St(µdt + σdBt) (2) où µ et σ sont deux constantes et (Bt) un mouvement brownien standard. Le modèle est étudié sur l’intervalle [0, T] où T est la date d’échéance de l’option à étudier. Comme nous l’avons vu, l’équation (2) se résout, explicitement : St = So expµ µt − σ 2 2 t + σBt ¶ , 

Modèle de Black et Scholes où So est le cours observé à la date 0. Il en résulte en particulier que, selon ce modèle, la loi de St est une loi log-normale (c’est à dire que son logarithme suit une loi normale). Plus précisément, on voit que le processus (St) vérifie une équation du type (2) si et seulement si le processus (log(St)) est un mouvement brownien (non nécessairement standard). Compte tenu de la définition 2.1.1 du chapitre 2, cela signifie que le processus (St) vérifie les propriétés suivantes : – continuité des trajectoires, – indépendance des accroissements relatifs : si u ≤ t, St/Su ou (ce qui revient au même), l’accroissement reltatif (St − Su) est indépendant de la tribu σ(Sv, v ≤ u), – stationnarité des accroissements relatifs : si u ≤ t, la l oi de (St−Su)/Su est identique à celle de (St−u − So)/So. Ces trois propriétés traduisent de façon concrète les hypothèses de Black et Scholes sur l’évolution du cours de l’action. 

Les stratégies autofinancées

Une stratégie sera définie par un processus φ = (φt)0≤t≤T = ((Ho t , Ht)), à valeurs dans R 2 , adapté à la filtration naturelle (Ft) du mouvement brownien, les composantes Ho t et Ht de φt donnant, à l’instant t, les quantités d’actif sans risque et d’actif risqué respectivement détenues en portefeuille. La valeur du portefeuille à l’instant t est alors donnée par : Vt(φ) = H o t S o t + HtdSt . Dans les modèlees discrets, on caractérise les stratégies autofinancées par l’égalité : Vn+1(φ) = φn+1.(Sn+1 − Sn) La transposition de cette égalité à temps continu conduit à écrire la condition d’autofinancement sous la forme suivante : dVt(φ) = H o t dSo t + HtdSt . Pour que cette égalité ait un sens on imposera la condition : Z T 0 |H o t |dt < +∞ p.s. et Z T 0 H 2 t dt < +∞ p.s.

Alors l’intégrale : Z T 0 H o t dSo t = Z T 0 H 0 t rertdt est bien définie, ainsi que l’intégrale stochastique : Z T 0 HtdSt = Z T 0 (HtStµ)dt + Z T 0 σHtStdBt , puisque la fonction t → St est continue, donc bornée sur [0, T], presque sûrement. Définition 6.2.1. Une stratégie autofinancée est définie par un couple φ de processus adaptés (Ho t )0≤t≤T et (Ht)0≤t≤T vérifiant : 1) R T 0 |Ho t |dt + R T 0 H2 t dt < +∞ p.s. 2)Ho t S o t + HtSt = Ho oS o o + HoSo + R t 0 Ht uHo udSo u + R t 0 HudSu p.s., pour tout t ∈ [0, T]. Nous noterons S˜ t = e −rtSt le cours actualisé de l’actif risqué. Proposition 6.2.2. Soit φ = ((Ho t , Ht))0≤t≤T un processus adapté à valeurs dans R 2 , vérifiant R T 0 |Ho t |dt + R T 0 H2 t dt < +∞ p.s.

On pose : Vt(φ) = H o t S o t + HtSt et V˜ t(φ) = e −rtVt(φ). Alors, φ définit une stratégie autofinancée si et seulement si : V˜ t(φ) = Vo(φ) + Z t 0 HudS˜ u p.s. pour tout t ∈ [0, T]. Démonstration Supposons la stratégie φ autofinancée. De l’égalité : dV˜ t(φ) = −rV˜ t(φ)dt + e −rtdVt(φ) qui résulte de la différenciation du produit des processus (e −rt) et (Vt(φ)) (noter que le terme de crochets d < e−rt, V (φ) >t est nul), on déduit : dV˜ t(φ) = −re−rt(Ho t e rt + HtSt)dt + e −rtHo t d(e rt) + e −rtHtdSt = Ht(−re−rtStdt + e −rtdSt) = HtdS˜