Mode de calcul de l’indice de Gini 

L’objet principal de ce chapitre est d’illustrer les modes de calcul de l’indice de Gini et son l’intersection de Lorentz.  Pour cet indice, nous appliquons la logique des axiomes d’inégalité, dans la mesure où ceux-ci constituent des critères éligibles d’évaluation des performances des indicateurs. 

 L’indice de Gini standard dérivé de la courbe de Lorentz

 L’indice de Gini a été élaboré par Gini en 1912 et entretient un lien strict avec la représentation de l’inégalité des revenus à l’aide de la courbe de Lorenz. Rappel sur la courbe de Lorentz : Figure 2 : Courbe de Lorentz (répartition des revenues) Source : Mohammad Abu-Zaine, Module I « Economie des inégalités » La première valeur montre ce que gagnent le premier dixième de la population et le second de celui des deux premiers dixièmes. 8 Figure 3 : Mesures des inégalités selon la courbe de Lorentz Source : Mohammad Abu-Zaine, Module I « Economie des inégalités » Plus la courbe est éloignée de la première bissectrice, plus la concentration de la grandeur est forte et la répartition plus inégalitaire. Figure 4 : Courbe de Lorentz et indice de Gini Source : EASYPol module 040 décembre 2006 L’indice de Gini mesure le ratio entre l’aire située de la courbe de Lorentz et la droite d’équidistribution et l’aire de concentration maximale. La figure 4 montre ces aires : elle 9 représente trois courbes de Lorentz à partir de trois distribution de revenus hypothétiques ; A, B, C. La courbe de distribution des revenus A : la courbe standard donnée par l’analyse des distributions de revenus réelles. Celle de la distribution B : représente le cas où tous les revenus sont égaux, c’est la droite d’équidistribution. La courbe de distribution de C : illustre le cas où tous les revenus sont nuls sauf le dernier. Dans ce figure 4, OP est la droite d’équidistribution et ORP l’aire définie par la courbe de Lorenz de la distribution du revenus standard et la courbe d’équidistribution, qu’on le nomme aire de concentration. OPQ est l’aire de concentration maximale, autrement dit la zone entre la courbe de Lorenz de la distribution de revenus C et la droite d’équidistribution. La droite d’équidistribution OP et l’aire OPQ représentent les valeurs extrêmes de l’aire de concentration dans une courbe de Lorenz. Soit cette aire est nulle (cas de la droite d’équidistribution de la distribution B), soit elle est maximale (cas de la distribution C). L’aire de concentration pour une distribution des revenus standards se situe entre zéro et l’aire de concentration maximale. Comme l’indice de Gini mesure le ratio entre l’aire de concentration et l’aire de concentration maximale, on a : 𝑮 = 𝒂𝒊𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒂𝒊𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒂𝒍 = 𝑶𝑹𝑷 𝑶𝑷𝑸 10 Figure 5 : Mode de calcul d’aire de concentration Source : Mohammad Abu-Zaine, Module I « Economie des inégalités » L’aire de concentration maximale correspond à une distribution où un seul individu détient la totalité des revenus alors, l’indice de Gini G mesure en général la distance entre l’aire définie par une quelconque distribution de revenus standard et l’aire de concentration maximale. Mais, comment appliquer cette formule dans la pratique ? ➢ Concernant le dénominateur de G : Les coordonnées maximales de la courbe de Lorentz se situent au point (1,1). Par conséquent, l’aire OPQ doit être un triangle possédant une longueur de base de 1 et une hauteur de 1. Son aire est donc égale à ½. D’où le dénominateur de G est ½ ➢ Le numérateur : Au lieu de calculer directement l’aire de concentration ORP=A, nous pouvons exploiter le fait que cette aire représente la différence entre l’aire de concentration maximale et l’aire sous la courbe de Lorenz ORPQ=B. On décrit le mode de calcul suivante : Commençons par rappeler la définition des coordonnées de la courbe de Lorentz. Si 𝑦1 ≤ 𝑦2 ≤ ⋯ ≤ 𝑦𝑛 𝑞𝑖 = 𝑦1+𝑦2+⋯+𝑦𝑖 𝑦1+𝑦2+⋯+𝑦𝑛 = 𝑦1+𝑦2+⋯+𝑦𝑖 𝑌 Proportion cumulée des revenus 11 𝑝𝑖 = 𝑖 𝑛 Proportion cumulée de la population Où po=qo=0 pn=qn=1 L’aire sous la courbe de Lorentz B est la somme des aires d’une série de polygones. Pour simplifier le calcul on va considérer une population de quatre individus. Le premier polygone est un triangle (p0q1p1) et les trois autres sont des trapèzes isocèles pivotés. On peut donc calculer chaque aire séparément et ajouter les résultats obtenus pour obtenir la valeur de l’aire globale. Symbolisons l’aire du ième polygone par Zi et l’aire totale obtenue de cette manière par Z. L’aire du triangle est donnée par : 𝑍1 = 𝑝⏞1 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑞⏞1 ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 2 Tandis que l’aire de chaque trapèze est donnée par : 𝑍𝑖 = (𝑝⏞𝑖 + 𝑞𝑖 −1 ) (𝑝𝑖 ⃐ −𝑝 𝑖 − 1 ) (𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒+𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑡𝑒) ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 2 Comme q0=p0=0, la somme de toutes ces aires donne : 𝑍 = ∑ 𝑍𝑖 𝑛 𝑖=1 = 1 2 ∑ [(𝑞𝑖 + 𝑞𝑖−1)(𝑝𝑖 − 𝑝𝑖−1)] 𝑖 Pour n=4 Cependant, Z n’est pas l’aire de concentration, mais l’aire sous la courbe de Lorentz. Il suffit donc de le soustraire de l’aire de concentration maximale (½) pour avoir l’aire de concentration comme suit : Aire de concentration = 1 2 − 𝑍 = 1 2 − 1 2 ∑ [(𝑞𝑖 + 𝑞𝑖−1)(𝑝𝑖 − 𝑝𝑖−1)] 𝑖 D’où l’indice de GINI est égal : G= 1 2 − 1 2 ∑ [(𝑞𝑖+𝑞𝑖−1)(𝑝𝑖−𝑝𝑖−1)] 𝑖 𝟏 𝟐 = 1 − ∑ [(𝑞𝑖 + 𝑞𝑖−1)(𝑝𝑖 − 𝑝𝑖−1)] 𝑖 Que l’on peut écrire également : G=1-2Z Cette formule indique seulement que l’indice de Gini est égal à 1 moins deux fois l’aire sous la courbe de Lorenz. Quand les données sont connues individuellement, cette formule peut se simplifier comme suit : 𝐺 = 1 − 1 𝑛 ∑ (𝑞𝑖+𝑞𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 avec 1 𝑛 : proportion de l’individu dans la population 

Indice de Gini standard avec formule de covariance 

Une autre approche permet aussi de calculer l’indice de GINI, qui consiste à l’exprimer directement en termes de covariance entre les niveaux de revenus et la distribution cumulée des revenus. En particulier 𝐺 = 𝐶𝑜𝑣(𝑦, 𝐹(𝑦)) 2 𝑦̅ Cov : représente la covariance entre des niveaux de revenus y et la distribution cumulée des mêmes revenus F(y) 𝑦̅: Le revenu moyen. Rappel : Cov[𝑦, 𝐹(𝑦)] = 𝐸[𝑦 − 𝑦̅].[𝐹(𝑦) − 𝐹(𝑦) ̅̅̅̅̅̅]

L’indice de Gini généralisée (Gv)

L’indice de Gini standard élaboré dans la section précédente ne permet pas de prendre en compte l’évaluation d’impact des politiques sur l’inégalité comme le degré d’aversion pour l’inégalité. D’où la généralisation de l’indice de Gini de Yitzhaki (1983) le rend dépendant d’un degré spécifié d’aversion pour l’inégalité. La formule correspondante est la suivante : 𝐺(𝑣) = − 𝑣 𝑦̅ 𝑐𝑜𝑣[𝑦, (1 − 𝐹(𝑦)) 𝑣−1 ] Où tous les termes ont le même sens que dans le standard et où v exprime le degré d’aversion pour l’inégalité. L’affectation de différentes valeurs à v risque de modifier la valeur de l’indice de Gini du fait d’une pondération différente des revenus à différentes parties de leur distribution. À noter que lorsque v=2, l’expression revient à l’indice de Gini standard.