Mise en oeuvre sur des applications de traitement du signal

Problème de détection des traitements adaptatifs En traitement du signal, le problème de détection se formalise généralement par un test d’hypothèses binaires qui correspond à la présence ou non, d’une cible dans une case test. Ainsi, pour une case d’analyse fixée, on reçoit un vecteur d’observation z de dimension m. En notant s le signal complexe connu caractérisant la cible recherchée, et c un bruit additif dit fouillis de distribution variable, le problème de détection s’écrit :  H0 : z = c zi = ci i = 1, …, N H1 : z = s + c zi = ci i = 1, …, N (4.1) où les zi sont des vecteurs d’observation supposés indépendants de z et appelés données secondaires par les radaristes.

Sous l’hypothèse H0 le signal z ne contient que le fouillis. Celui-ci est constitué entre autres, des différentes réflexions sur le sol et des éléments de l’environnement, ainsi que du bruit thermique. Sous l’hypothèse H1, en plus de ce fouillis, le signal z contient la cible s à détecter. L’objectif de la détection est de déterminer laquelle de ces deux hypothèses est la plus vraisemblable, tout en minimisant les probabilité suivantes : – la probabilité de non-détection Pnd qui correspond à la probabilité de ne pas détecter la cible (hypothèse H0) alors qu’elle est présente,

– la probabilité de fausse alarme Pfa qui correspond à la probabilité de détecter la cible (hypothèse H1) alors qu’elle n’est pas présente. On définit égalementPd = 1 − Pnd la probabilité de détection. Dans la pratique il est difficile de s’affranchir totalement des erreurs. Un bon compromis est donné par le critère de Neymann-Pearson qui vise a maximiser la probabilité de détection Pd pour un taux de fausse alarme Pfa fixé. Le test optimal de ce critère (voir par exemple [45]) est le rapport de vraisem100 Mise en oeuvre sur des applications de traitement du signal 

Performances de l’ANMF en fonction de l’estimateur utilisé blance (RV) donné par Λ(z) = p(z|H1) p(z|H0) H1 ≷ H0 η (4.2) où le seuil de détection η est déterminé en fonction de la probabilité de fausse alarme fixée. Lorsque les paramètres d’intérêt du signal cible s sont inconnus, ils sont d’abord estimés au sens du maximum de vraisemblance (MV). Les vrais paramètres sont alors remplacés par des paramètres estimés, dans (4.2) et on parle alors de rapport de vraisemblance généralisé (RVG). 4.1.2 Détecteur utilisé : Adaptive Normalized match filter (ANMF) Le test du RVG dépend de la distribution particulière des données et n’est donc pas utilisable tel quel.

De nombreuses études sur le détecteur adapté à différentes distributions elliptiques : vecteurs gaussiens [48], gaussiens composés (ou Spherically Invariant Random Vectors SIRV) [44] ou K-distributions [17], montrent que le test du RVG revient asymptotiquement à utiliser l’ANMF que nous présentons dans cette partie. Considérons l’hypothèse binaire précédente (4.1). Le vecteur z reçu est de taille m et la matrice de covariance estimée de l’environnement est Mc. Le signal cible à détecter s’écrit s = Ap (4.3) où A est l’amplitude du signal et p le steering vector contenant toutes les autres informations telles que le Doppler, l’angle d’arrivée… en fonction de l’application.

L’ANMF s’écrit alors [13] Λ(Mc|z) = |p HMc−1z| 2 (pHMc−1p)(zHMc−1z) . (4.4) Ce filtre est dit normalisé car pour chaque grandeur p, y et Mc, le résultat ne dépend pas de leur norme. Il est parfois appelé filtre cosinus (ou ACE). En effet, en notant – q = Mc−1/2p – y = Mc−1/2z on obtient, Λ(Mc|z) = |q Hy| 2 ||q||2.||y||2 = cos2 (θq,y). (4.5) où θq,y est « l’angle » entre q et y. Remarque 4.1.1 q et y sont dits blanchis. Dans la partie suivante, nous comparons les performances asymptotiques des estimateurs avant d’étudier plus en avant la relation Pfa-seuil obtenue avec l’ANMF, en fonction de l’estimateur utilisé. En effet, il s’agit d’un paramètre important à connaitre pour pouvoir contrôler la détection.

Performances de l’ANMF en fonction de l’estimateur utilisé

Comparaison des performances obtenues Considérons un détecteur adaptatif recevant un signal z de taille m. La matrice de covariance estimée de l’environnement est Mc. On tente de détecter des signaux de steering vector p. Dans ce premier exemple, le milieu est considéré gaussien et on calcule Λ(Mc|z). Sur la figure 4.1 l’axe vertical représente la variance de Λ obtenue avec la SCM et l’estimateur d’Huber complexe dont le paramètre q est fixé à 0.75.

L’axe horizontal représente le nombre d’échantillons utilisés pour estimer la matrice de covariance. Une troisième courbe représente la variance de Λ pour σ1N données. On observe que cette dernière est confondue avec la courbe de la SCM, illustrant ainsi le théorème 3.3.1. Ici σ1 vaut 1.067 et a été obtenu par tirage Monte-Carlo.