Mise en œuvre numérique des simulations 3D

Systèmes d’équations adimensionnelles 

Valeurs de références et grandeurs adimensionnelles

De manière générale, toutes les grandeurs mécaniques peuvent être exprimées à partir de quatre dimensions fondamentales : la longueur [m], la masse [kg], la température [K] et le temps [s]. Or les phénomènes physiques sont indépendants du choix de l’unité, donc ils doivent nécessairement dépendre de combinaisons des différentes grandeurs intervenant au phénomène.

Certaines combinaisons nous permettent d’écrire des nombres sans unité, ces nombres définissent aussi des similitudes entre les prototypes servant à examiner le même phénomène à différentes échelles. Il existe plus d’une façon de représenter un problème adimensionnel partant d’un problème physique dimensionnel de base, et ceci varie selon le choix des grandeurs de références. Pour les équations d’un écoulement en convection naturelle ou mixte nous avons deux choix ‘standards’ des grandeurs de références selon que l’écoulement est convectif ou diffusif. Le tableau cidessous résume l’ensemble des valeurs de référence à choisir.

En multipliant et en divisant les variables longueur, vitesse, pression, température et concentration dans le système d’équations (4.3,4,5,6) par les grandeurs de références on écrit un nouveau problème équivalent sans unités, où apparaît les variables sans unités et une famille de nombres adimensionnels usuels caractérisant la similitude des écoulements, et dont les valeurs sont les paramètres de contrôle de l’écoulement, du transfert de chaleur et du taux de séparation d’espèces dans la cavité. Ces paramètres sont classés, définis et interprétés ci-dessous. 

Choix de la concentration de référence

En examinant les termes contenant X×~‘ dans les équations (4.12) et (4.14), on extrait deux choix possibles pour la concentration de référence : X×~‘  ‘ g ∆ ou X×~‘  ^gXx 1  Xx ∆. ♦ Discussion Dans le cas où ­e®’  “¤ “­ ∆¤ Le coefficient de la concentration dans le terme d’ARCHIMEDE de l’équation selon [ de la quantité de mouvement est réduit à 1, alors que le Chapitre 4 Technique numérique 3D 126 coefficient du Laplacien de  de l’équation des espèces devient égal au taux de séparation .

Dans le cas où ­e®’  ”¤­   ­ ∆¤ Le coefficient de la concentration dans le terme d’ARCHIMEDE de l’équation selon z de la quantité de mouvement devient égal à , alors que le coefficient du Laplacien de  de l’équation des espèces est réduit à -1. Nous aurons donc six systèmes adimensionnels possibles selon les choix des grandeurs de références. Pour résumer tout ce qui a été développé on peut noter les points suivants : 1. Les variables non dimensionnelles qu’on sortira dépendent du choix de T×~‘. 2. Le choix de X×~‘ va permettre de mettre l’information contenant le coulage entre température et espèces dans l’équation de Navier Stokes selon la direction de pesanteur ou dans l’équation des espèces. 3. Si Œš et Œg sont positifs alors le signe de  coïncidera avec le signe du SORET. 4. 

définit le couplage entre la température et la concentration, ainsi on contrôle  en faisant varier la température et la concentration initiale du constituant le plus dense du mélange binaire. 5. La séparation maximale possible est : X€¾  ^gXx 1  Xx ∆ ♦ Récapitulatif : Nous détaillons les équations obtenues selon les choix de T×~‘ et de X×~‘. Ces équations désignent un seul problème réécrit de plusieurs manières homologues en utilisant les grandeurs de similitude. On les évoque ici dans quatre buts.

1. Le premier est que nous avons eu besoin de changer les adimensionnements pour nous aligner avec les textes de différents auteurs lors des exercices de validation. 2. Le deuxième est un souci de convergence du calcul, car dans certaines gammes de paramètres il est plus facile de converger avec une forme que d’autres. 3. Le troisième est académique servant à fournir au lecteur un recueil synthétique présentant les formes sans dimensions avec une discussion des choix de référence. 4. Le quatrième est une préparation au développement informatique du schéma de résolution, cette préparation consiste à répartir les équations en différent termes se différenciant uniquement par les coefficients sans dimension.