Mise en œuvre d’un modèle EF

Les objectifs de l’étude sont le développement d’une méthodologie d’identification des tissus mous de manière non-invasive et atraumatique et la prévision des pressions hydrostatiques à l’intérieur d’un mollet sous contention. La mise en œuvre du modèle numérique est l’une des étapes principales pour la réalisation de ces objectifs. D’une part, le modèle numérique que l’on présentera dans ce chapitre sera utilisé pour générer des données simulées à comparer avec des données expérimentales lors du processus d’identification. D’autre part, lorsque le modèle sera recalé (i.e. les paramètres matériaux seront identifiés), le modèle présenté sera utilisé pour la prévision de la répartition des pressions hydrostatiques à l’intérieur du mollet. Nous proposons dans ce chapitre, une présentation du modèle et des différentes phases de sa mise en œuvre. Dans une première partie, le modèle général est présenté ainsi que les hypothèses simplificatrices formulées dans le cas général. Nous justifierons alors de l’utilisation d’un modèle compressible. Puis dans une deuxième partie, on présentera un modèle numérique dont le chargement mécanique est simplifié. La troisième partie de ce chapitre est consacrée à la modélisation du tricot et de la jambe simultanément et au traitement numérique du contact impliqué. Finalement, la dernière partie de ce chapitre est dédiée à la modélisation de l’effet de la contention par l’implémentation d’une condition aux limites en efforts issue de la caractérisation des tricots présentée précédemment.

 Quelques rappels sur l’incompressibilité et la compressibilité

 Avant de présenter les modèles dont il est question, il paraît nécessaire d’effectuer quelques rappels et précisions sur l’incompressibilité. En effet, les matériaux biologiques sont quasi-systématiquement considérés comme incompressibles [Chapitre 2]. L’incompressibilité est l’inaptitude d’un matériau à changer de volume, cette condition se traduit par, det F ≡ J = 1 (6.1) Que le potentiel hyperélastique s’écrive en fonction des élongations principales ou en fonction des invariants des tenseurs de déformations de Green-Lagrange et CauchyGreen droit, le nombre de ces invariants est réduit à deux dans le cas de l’incompressibilité stricte. Si l’incompressibilité permet de simplifier analytiquement les potentiels, il n’en est pas de même pour la résolution numérique par la Méthode aux Éléments Finis (MEF).L’incompressibilité ajoute donc une réaction de pression à l’état de contrainte. En conséquence la pression que subit le corps reste indéterminée par la loi de comportement. La difficulté de l’incompressibilité réside dans le calcul de cette pression (pression hydrostatique). De manière analytique et simplifiée, résoudre le problème mécanique considéré revient à minimiser une énergie sous la contrainte d’incompressibilité, on peut donc utiliser les différentes méthodes associées à la résolution de problème de minimisation sous contrainte dont les principales sont [Bie02], [Rao96], – la méthode des multiplicateurs de Lagrange – la méthode de pénalité – la méthode du lagrangien augmenté Une présentation succinte de ces méthodes est faite dans l’[Annexe A]. Bien que ces méthodes soient couramment appliquées dans la littérature pour les calculs sur les tissus mous, nous allons voir que le comportement du mollet est différent. 

Justification de l’utilisation d’un modèle compressible

La segmentation des images réalisée nous a permis d’observer une variation d’aire de l’ordre de 5% pour le port d’une seule chaussette. En considérant une pression de contention 20mmHg, on en déduit que le module de compressibilité est de l’ordre 50 kPa. Si la plupart des études exposées précédemment [Chapitre 2] présentent des matériaux quasi-incompressibles, il est alors important de proposer une explication à de telles différences. Le module de compressibilité que nous évaluons est global car il s’appuie sur la variation de volume de la jambe entière. Il ne s’agit pas d’un module de compressibilité propre à un seul matériau. L’implémentation et la résolution de ce problème par la MEF est notre principal intérêt. Dans ZéBuLoN R , on ne choisit pas explicitement la méthode de résolution du problème d’incompressibilité mais on peut néanmoins faire le parallèle entre les méthodes présentées précédemment et l’implémentation de l’incompressibilité sous ZéBuLoN R . Dans la définition des lois de comportement, l’écriture de lois hyperélastiques se fait par l’écriture d’un potentiel où la condition d’incompressibilité est incluse lorsqu’elle existe. En effet, certaines lois introduisent le caractère compressible du matériau par l’utilisation d’un module de compressibilité mis en facteur d’un terme lié à la dilatation volumique tendant vers 0 en cas d’incompressibilité, ce qui revient à pénaliser le potentiel. L’exemple est donné par le cas particulier d’une loi à potentiel néo-hookéen que nous utiliserons par la suite, ψ( ¯I1, J) = c( ¯I1 − 3) + K 2 1 2 (J 2 − 1) − ln J (6.7) où ¯I1 est défini par l’ [Équation (2.7)]. Cette formulation permet de résoudre le problème mécanique formulé en déplacements uniquement. Elle s’avère utile dans le cas de matériaux compressibles à quasi-incompressibles (ν < 0, 49). Pour les matériaux quasiincompressibles à incompressibles (ν > 0, 49), une méthode s’apparentant à la méthode des multiplicateurs de Lagrange est nécessaire. En effet, afin d’éviter les problème de bloquage des éléments [SB87] et des phénomènes d’hourglass [Feu05], on utilise une formulation mixte déplacement/pression des éléments i.e. les éléments sont formulés en déplacement et en pression, la pression devient une inconnue indépendante des déplacements. On résout simultanément l’équation d’équilibre mécanique et la condition d’incompressibilité. Il est important de souligner que la formulation mixte des éléments est nécessaire dans le cas de matériaux incompressibles ou très faiblement compressibles [ST91]. En conclusion, la formulation mixte permet le calcul dans le cas incompressible (K > 1.108 MPa) mais s’avère inutile si on relaxe la contrainte d’incompressibilité. Il est donc nécessaire de situer notre étude sur l’échelle de l’incompressibilité. Compte tenu des résultats obtenus, il parait souhaitable d’utiliser des éléments formulés uniquement en déplacement puisque nous sommes assez éloignés de la quasiincompressibilité. 

Généralités sur le modèle numérique

Développé conjointement par l’ONERA, Northwest Numerics (Seattle, USA), et le Centre des Matériaux (ENSMP), ZéBuLoN R est un code de calcul éléments finis adapté aux problèmes de mécanique non linéaire. Programmé en C++, ZéBuLoN présente une structure modulaire orientée objet. Pour les simulations qui vont être présentées dans la suite de ce chapitre, le maillage utilisé est celui obtenu par Amira R [Figure 5.5] que l’on a exporté en 2D dans ZéBuLoN R . Ce maillage est composé de 3915 éléments triangle isoparamétriques à interpolation linéaire (fonctions de forme adaptées pour une loi de comportement hyperélastique compressible [ZT00]). Compte tenu de la rigidité de l’os face à celle des tissus mous que l’on tente d’identifier, ceux-ci sont supposés infiniment rigides, nous permettant de bloquer les degrés de liberté (d.d.l) en déplacement sur le contour de l’os, prévenant ainsi tout mouvement de corps rigide. L’hypothèse des déformations planes est préférée à celle des contraintes planes compte tenu de la longueur du mollet dans la direction longitudinale par rapport à ses dimensions dans le plan transverse. Comme nous l’avons vu dans la première partie de ce manuscrit, les muscles sont des matériaux dont le comportement est admis comme étant isotrope transverse. La formulation d’un modèle 2D établi dans le plan d’isotropie permet donc l’utilisation de modèles isotropes pour les muscles ainsi que pour la graisse. Dans la suite de ce chapitre, les potentiels hyperélastiques utilisés sont néo-hookéens [Équation (6.7)]. Les chargements mécaniques, propres à chacun des modèles, seront détaillés lors de leur présentation. 

Modélisation d’un mollet soumis à une pression uniforme 

 Présentation de la simulation 

Le modèle présenté ici est une application du modèle général présenté plus haut, soumis à une pression uniforme sur le contour de la jambe. La pression choisie est de 20 mmHg ( ≈ 2, 66 kPa) qui est une pression habituelle pour la contention. Une pression de 20 mmHg en cheville correspond à la classe 2 des contentions dégressives [cTC01]. La loi néo-hookéenne isotrope utilisée est implémentée sous ZéBuLoN R sous la forme d’un potentiel hyperélastique [Équation (6.7)], c et K étant les paramètres matériaux à identifier par la suite. Pour ces simulations, on utilise deux lois de comportement différentes, dans le but de différencier la graisse du reste du mollet. Soit cg, le paramètre c relatif à la graisse et cm le paramètre c relatif aux muscles, on pose pour cette simulation cg = 5 kPa et cm = 10 kPa. De la même façon, on pose les modules de compressibilité Kg = 50 kPa et Km = 50 kPa. Une étude paramétrique a aussi été conduite. On a étudié l’influence du module de compressibilité en posant alors Km = 100 kPa. Enfin, on poursuit par un dernier jeu de paramètres, cg = 50 kPa, cm = 10 kPa et Kg = Km = 50 kPa [Tableau 6.1]. Le choix de ces paramètres est arbitraire, il n’a pour but que de présenter la réponse de la jambe à une sollicitation uniforme. Ces simulations permettent l’appréhender l’influence des différents paramètres sur cette réponse, nous pourrons nous en servir comme simulation de référence.