Mise en œuvre d’un modèle de PML

Mise en œuvre d’un modèle de PML

Le modèle PML a été proposé par J-P Bérenger en 1994 afin de simuler numériquement un domaine non borné eu vu d’étudier la propagation d’ondes électromagnétiques. Sa relative simplicité de mise en œuvre et ses résultats plus que satisfaisants lui confèrent un grand intérêt. Cette méthode est une alternative à l’écriture de conditions aux limites absorbantes sur l’approximation de l’opérateur d’impédance adapté (utilisé dans la première partie) pour les simulations numériques en domaine libre. Notons le fait que l’approche PML est exacte contrairement à la méthode utilisée précédemment. L’idée des PML est d’obtenir, après changement de variables complexe (rendu possible par prolongement analytique à C3 du noyau de Green de p2−∆), un système d’équations défini sur tout l’espace, et tel que: • La solution vérifie les équations d’Euler « en espace libre » dans Ω (c’est-à-dire coïncide avec la solution ϕ qui nous intéresse dans Ω). • La solution décroisse exponentiellement sur R3\Ω, et ce indépendamment de la fréquence et de la direction de propagation des ondes. On présentera dans un premier temps les principaux arguments permettant d’établir le problème sur tout l’espace pour ensuite mettre en œuvre numériquement la méthode.

Approximation

Schéma d’approximation

 Le système (19) étant bien posé, on en cherche maintenant une approximation. Contrairement au cas précédent, il nous faut ici considérer un couple d’équations, qui seront chacune approchées par un schéma numérique convergent et stable. Cependant, la stabilité de chacun des deux schémas ne permet pas de conclure quant à celle de leur couplage. C’est pourquoi on préférera utiliser, lorsque cela n’est pas trop contraignant, la formulation implicite des schémas, beaucoup plus stable que l’explicite. La première équation de (19) étant, de par sa structure (de la forme , similaire à l’équation principale du système (12) dont on a approché la solution précédemment, elle sera discrétisée de la même manière par une méthode aux volumes finis.

Résultats numériques

 Les paramètres des simulations avec PML sont quasiment identiques à ceux utilisés précédemment. Le problème de normalisation des ondes ne se posant plus, le domaine peut prendre des dimensions quelconques. Ainsi, le domaine considéré pour ces simulations est [0, 2] × [0, 1], et 15 couches de PML (c’est-à-dire l’équivalent de 15 éléments de maillage) ont été ajoutées de part et d’autre du domaine. La couche PML n’étant présente que de part et d’autre du cylindre, tout ce qui a été fait précédemment est à considérer avec σy = 0 (équivalent monodimensionnel). Les figures 4, 5, 6 montrent les résultats de simulation avec PML dans les mêmes conditions qu’au § 3.2. Lorsque des ondes sortantes atteignent un des bords horizontaux (en x), la couche PML est visible sous forme d’une étroite bande dans laquelle l’extinction exponentielle est matérialisée par une couleur uniforme, correspondant à des valeurs proches de 0. Dans tous les cas, l’absence de réflexion confirme expérimentalement la validité de l’approche. Enfin, la figure 7 représente un tracé de ρ sur l’axe du guide d’ondes dans la couche PML à 6 temps proches (dans le cadre sans convection). La décroissance exponentielle y est clairement visible lorsque le front d’onde atteind la couche PML.