Mise en œuvre des schémas d’homogénéisation linéaires appliqués à la thermique

Cette section présente la mise en œuvre des principaux schémas d’homogénéisation linéaires appliqués à un problème de thermique. Les méthodes d’homogénéisation permettant de prédire le comportement macroscopique d’un matériau hétérogène à partir des propriétés microscopiques des éléments qui le constituent sont des méthodes basées sur le principe de changement d’échelles entre le domaine microscopique et le domaine macroscopique.

La procédure d’homogénéisation se fait dans la plupart des méthodes en trois étapes principales. Si l’on considère le cas d’un problème de mécanique, la première étape consiste à déterminer les déformations microscopiques de chacune des phases du matériau à partir de la déformation macroscopique qui est une donnée du problème. Cette étape est appelée localisation. Ensuite, la loi de comportement microscopique de chaque phase est Méthode d’homogénéisation développement, implantation et application  appliquée afin de déterminer les déformations et les contraintes microscopiques correspondantes.

La dernière étape consiste à déterminer la contrainte macroscopique homogénéisée du matériau en moyennant les contraintes microscopiques obtenues précédemment. Cette étape est appelée homogénéisation. Les étapes de localisation et d’homogénéisation permettent de définir les équations de changement d’échelles du problème. Elles sont propres à chaque méthode d’homogénéisation. Avant de développer une nouvelle méthode d’homogénéisation, il est nécessaire de comprendre le fonctionnement de ces étapes de changement d’échelles. 

Diffusion thermique

Dans cette partie, on considère un matériau hétérogène isotrope composé d’une matrice notée 𝑚 dans laquelle sont plongées des inclusions sphériques notées 𝑖. Les conductivités thermiques 𝜆𝑚 et 𝜆𝑖 des deux phases sont connues, et on cherche à déterminer la conductivité thermique du matériau homogénéisé 𝜆ℎ𝑜𝑚. Le matériau étant isotrope, il est possible de simplifier le problème de diffusion thermique en ne considérant qu’une seule direction de l’espace

Application au matériau modèle

Au cours de la campagne expérimentale réalisée sur un matériau modèle, les conductivités thermiques de trois mélanges contenant 0, 30 et 60% de sable (notés respectivement 0S, 30S et 60S) ont été mesurées sur des échantillons secs (Tableau 2.8). Tableau 3.1. Conductivités thermiques 0S 30S 60S 𝜆50%𝐻𝑅 W/(m.K) 0,40 ± 0,01 0,54 ± 0,02 0,70 ± 0,08 La conductivité thermique du mélange 0S donne directement la valeur de la conductivité thermique de la matrice 𝜆𝑚 = 0,4 W/(m.K). La conductivité thermique du sable 𝜆𝑖 est déterminée par analyse inverse à partir des résultats du mélange contenant 30% de sable et de la formule d’homogénéisation du schéma de Mori-Tanaka (Equation (3.8)).

En supposant que la conductivité thermique mesurée 𝜆30𝑆 est égale à celle du modèle d’homogénéisation 𝜆 𝑀𝑇, et en connaissant 𝜆𝑚, alors la conductivité thermique des inclusions 𝜆𝑖 est de 1,04 W/(m.K). Les conductivités thermiques de chaque phase ont ensuite été utilisées dans les trois schémas d’homogénéisation évoqués précédemment afin de déterminer l’évolution de 𝜆 ℎ𝑜𝑚 en fonction de la quantité de sable dans le matériau. Les résultats obtenus pour une fraction volumique de sable de 60% peuvent ensuite être comparés au résultat expérimental du dernier mélange (60S). Un modèle numérique a également été développé dans le logiciel aux éléments finis COMSOL [178] afin de déterminer numériquement la conductivité thermique du matériau hétérogène en fonction des conductivités de chaque phase.

Dans ce modèle, schématisé sur la Figure 3.2.a, les grains de sable sont modélisés comme des sphères dont la taille permet de modifier la fraction volumique du sable. Mise en œuvre des schémas d’homogénéisation linéaires appliqués à la thermique 83 Avec cette disposition des grains les uns par rapport aux autres, il n’est pas possible d’avoir plus de 66% de sable dans le matériau. Le maillage utilisé dans ce modèle est composé de tétraèdres dont la taille varie entre 3‰ et 7% de la dimension la plus grande. Des conditions d’isolation thermique ont été appliquées sur toutes les parois à l’exception de deux faces sur lesquelles les températures 𝑇1 et 𝑇2 appliquées ont généré un gradient de température de 1 K/m dans le matériau. Le flux de chaleur induit par ce gradient de température, illustré sur la Figure 3.2.b, a été mesuré entre ces deux faces afin de déterminer le flux de chaleur moyen traversant le matériau et la conductivité thermique homogénéisée en a été déduite.