Mise au point du modèle numérique sur le cas monophasique

Szeri et Wilson ont chacun décrit un mécanisme, qui selon eux, permet de retrouver un certain nombre de résultats expérimentaux. Cela est fort intéressant, et le serait davantage s’il n’y avait par ailleurs un problème: comme il a été remarqué dans l’analyse bibliographique, les deux modèles arrivent à des résultats manifestement analogues, alors que les hypothèses de départ présentent certaines différences. Szeri, développe un modèle où la concurrence entre les deux liquides est relativement « douce ». Si l’huile, plus visqueuse, donc moins mobile, est moins éjectée que l’eau, elle est quand même en partie éjectée du contact. Cela, car les gouttes d’huile sont entraînée par le flux retour de l’eau. Pour Wilson, l’analyse est plus tranchée. Les gouttes d’huile s’accrochent aux parois et progressent inexorablement vers le contact. Lorsque l’espace se restreint, c’est l’eau et seulement l’eau qui est éjectée. Quel sens donner à cette observation ? Cela signifie-t-il que deux mécanismes différents sont susceptibles de pouvoir concourir à la formation du film lubrifiant ? Si tel est le cas, alors une multitude de questions s’offrent à nous. Quelle est la réelle performance de chacun de ces deux mécanismes ? Interviennent-il de manière simultanée, ou alternée ? La mise en place de l’un annihile-t-elle le développement de l’autre ? Quel mécanisme considérer, en fonction de quelle situation ? Autant de questions que nous n’avons pas l’intention de laisser en suspens. Afin d’apporter des éléments de réponse, les mécanismes de Szeri et de Wilson ont été étudiés séparément. Une fois ce travail réalisé il a été possible de développer un modèle tenant compte de l’influence de ces deux mécanismes : le modèle couplé Szeri-Wilson. Comme les modèles de Szeri et de Wilson font intervenir des équations dérivées de l’équation de Reynolds, une étude préliminaire de cette équation a été réalisée. Cela a permis par exemple de mettre en lumière certaines difficultés de résolution, ou encore de poser le délicat problème du choix des conditions aux limite. La paragraphe suivant I n’a pour but que mettre au point notre modèle numérique de différences finies monodimensionnelles. Afin de simplifier le problème, une série d’approximations a été faite : – Dans un premier temps la piézo-viscosité de l’huile ne sera pas considérée au voisinage de x=0 où la pression se crée. – Le cylindre est assimilé à une parabole. Donc : R x hxhdevientxRRhxh 2 )()( 2 0 22 0 +=−−+= h0 : plus petite distance séparant le plan du cylindre. (2.1) x z 0 Figure n°2.1 : Schéma du cylindre tournant au dessus du plan : le système est considéré comme immergé dans une piscine d’huile Mise au point du modèle numérique sur le cas monophasique 1. Contact cylindre / plan 1.1. Solution exacte L’analyse se fait ici à épaisseur minimale h0 fixée.

Conditions aux limites 

Ménisques en l’infini

Il est possible de parler de ménisques positionnés en l’infini car le cylindre est approximé par une parabole. Naturellement lorsque cette approximation n’est pas faite, l’intervalle le plus grand sur lequel il est possible de travailler se résume à : [− R;R]. N.B. : Placer le ménisque d’entrée en l’infini, ou en x = −R , revient à ne pas respecter l’hypothèse de film mince nécessaire pour établir l’équation de Reynolds. Partout où cette condition n’est pas respectée, l’équation n’est plus valide et sa solution est donc sujette à caution sur le plan physique. Nous nous permettrons cependant à l’occasion d’étendre le domaine de résolution pour disposer d’une solution analytique simple, car notre but est de tester une solution numérique de cette équation considérée comme un pur objet mathématique. De plus, il sera montré (voir §1.2.3) qu’en deçà d’une certaine valeur, la position de l’extrémité amont de la zone d’intégration n’influence pas vraiment la solution de l’équation, tout simplement parce que l’épaisseur y est trop grande pour que la pression monte. En fait la position de ce point, que nous assimilerons au ménisque d’entrée dans le cas sous-alimenté, huile ou émulsion, n’a d’influence sur la solution qu’à condition d’être très proche du point d’entrefer minimal. Nous examinerons donc aussi les conclusions tirées de cette étude sous un angle physique, avec toute la prudence requise du fait des considérations précédentes. 

Sous-alimentation et conditions de cavitation

Les conditions de cavitation sont maintenues. Comme ce sont elles qui permettent de déterminer K11 et K12, les expressions de K11 et de K12 restent celles écrites en (2.13). Lorsque le système n’est pas abondamment pourvu en huile, le ménisque n’est pas rejeté en l’infini. Dans ce cas, la condition lim ( ) = 0 →−∞ P x x devient ( ) = 0 m P x , xm étant le début de la zone d’intégration (assimilée à la position du ménisque d’entrée). Ce changement des conditions aux limites va modifier l’expression de l’équation qui permettait de déterminer x*.