Micro-vélocimétrie par marquage moléculaire adaptée aux écoulements gazeux confinés

Généralités sur les micro-écoulements gazeux

 Dans ce chapitre, nous introduisons quelques concepts de base utiles à la modélisation du comportement des micro-écoulements gazeux. Nous commençons par la définition des différentes longueurs caractéristiques de ces écoulements. Ensuite, nous introduisons les notions de vitesse moléculaire, de vitesse macroscopique et de fonction de distribution des vitesses. Nous décrivons plus loin les interactions molécule-molécule et les interactions molécule-paroi. Enfin, nous abordons les effets de raréfaction dans les micro-écoulements gazeux ainsi que leur modélisation. 

 Dimensions caractéristiques 

La première longueur caractéristique que nous définissons est le diamètre moléculaire moyen noté d. La distance moyenne intermoléculaire δ est directement liée à la densité moléculaire n par la relation : 3 1 n δ = (1.1) Figure 1.1 Grandeurs caractéristiques Le libre parcours moyen λ représente la distance moyenne parcourue par une molécule entre deux collisions successives, dans un référentiel lié à l’écoulement macroscopique. Il est donné par : µ k RT λ λ ρ = (1.2) où µ, ρ, R et T sont respectivement la viscosité dynamique, la masse volumique, la constante spécifique et la température du gaz. D’autre part kλ est un coefficient dépendant du modèle de collision intermoléculaire considéré ; il est donné dans le Tableau 1.1.Enfin, on introduit une longueur caractéristique Lc (diamètre d’un tube, diamètre hydraulique d’un canal… etc.). 

 Interactions molécule-molécule

 Au cours du mouvement, la vitesse d’une molécule change lorsque celle-ci entre en collision avec une autre molécule ; nous considérons dans cette thèse que les collisions intermoléculaires sont élastiques et binaires. On parle de collision binaire lorsque la collision ne met en jeu que deux molécules. L’hypothèse de collisions binaires est justifiée dans un gaz dilué où les collisions tertiaires sont rares. Cela arrive lorsque la distance intermoléculaire δ est suffisamment grande devant le diamètre moléculaire d (Shen 2005). Cette condition est généralement satisfaite pour un gaz dans des conditions usuelles de température et de pression. Le cas de collisions élastiques est un cas particulier de collision où l’échange d’énergie entre les deux molécules entrant en collision s’effectue exclusivement au niveau de l’énergie cinétique. Les changements induits par les collisions au niveau de l’énergie vibrationnelle, de l’état électronique d’une molécule ainsi que les réactions chimiques sont alors considérés comme peu probables. Cette hypothèse reste satisfaite pour des gaz non réactifs à des températures et à des gradients de température modérés (Bird 1994, Shen 2005). De ce fait, les deux principes de bilan de quantité de mouvement et de conservation de l’énergie peuvent être utilisés pour la modélisation des collisions.  Il est à noter que dans le modèle de sphères dures, la déviation de vr est isotrope par rapport au centre de masse, ce qui revient à dire que vr * peut prendre d’une manière équiprobable n’importe quelle direction. Les avantages de ce modèle sont sa simplicité et sa facilité de mise en œuvre, même si l’hypothèse de déviation isotrope n’est pas réaliste. Le modèle de sphères dures prédit une dépendance de la viscosité µ vis-à-vis de la température à la puissance 0.5, ce qui est diffèrent de la puissance réellement observée pour la plupart des espèces gazeuses : cette puissance correspond au coefficient ωλ donné dans le Tableau 1.1 qui peut varier entre 0,65 et 1,10 pour les gaz usuels. Cette différence peut se monter cruciale à des températures élevées de l’ordre de 1000 K ou dans des configurations d’écoulements non isothermes (Naris, Valougeorgis et al. 2004). Pour pallier ces problèmes, plusieurs autres modèles plus réalistes ont été proposés, comme le modèle de sphères dures variables ou « Variable Hard Sphere (VHS) » proposé par Bird (Bird 1981) qui considère les molécules comme des sphères dures, avec une déviation après collision isotrope mais un diamètre moléculaire dépendant du module vr de la vitesse relative. Un autre modèle appelé sphères moles variables ou « Variable Soft Sphere (VSS) » a été proposé par Koura et Matsumoto (Koura and Matsumoto 1991) qui conservent la dépendance du diamètre à la vitesse relative des molécules donnée par le modèle VHS et introduisent un angle de déviation ψ dépendant de la vitesse relative. Ces modèles sont très largement utilisés dans la simulation des écoulements raréfiés et leur confrontation sur un cas test est donnée dans (Sharipov and Strapasson 2013). Dans la suite de nos travaux, nous utilisons le modèle de sphères dures pour des raisons de simplicité. Les résultats donnés par ce modèle peuvent être quantitativement différents de ceux donnés par des modèles beaucoup plus sophistiqués mais cela ne change pas les conclusions qualitatives et les discussions de cette étude relatives à des écoulements isothermes et à des températures approchant la température ambiante.

 Interactions molécule-paroi

 L’autre situation qui conduit au changement de vitesse moléculaire est l’interaction avec une paroi. Dans ce cas, la vitesse de réflexion notée vrefl est donnée par le modèle de Maxwell (Maxwell 1879) de réflexion spéculaire-diffuse pour lequel une fraction σ des molécules impactant la paroi est réfléchie d’une manière diffuse tandis que la fraction restante (1 − σ) est réfléchie d’une manière spéculaire (Figure 1.3). Le coefficient σ est appelé coefficient d’accommodation à la quantité de mouvement tangentielle ; il dépend notamment du gaz, du matériau et de la forme des parois. Il est à noter que ce coefficient à une importance cruciale dans la description des micro-écoulements pour lesquels les interactions molécule-paroi sont importantes.