MGDHW Une approche hybride pour la modélisation des processus de dégradation

 Généralités sur le formalisme des MGDHW

Avant de présenter le modèle hybride mis en place, étudions ce qui a été fait auparavant dans la littérature concernant l’intégration de variables continues dans les réseaux bayésiens. Dans la théorie des réseaux bayésiens, il existe plusieurs approches qui contiennent à la fois des variables continues et discrètes, telles que les réseaux bayésiens conditionnels hybrides gaussiens [Lauritzen 1992], les mélanges d’exponentielles [Koller et al. 1999], ou encore les mélanges d’exponentielles tronquées [Moral et al. 2001].

Les réseaux bayésiens conditionnels hybrides gaussiens mêlent des variables discrètes et des variables continues qui suivent des lois gaussiennes conditionnellement à leurs variables parentes. L’inférence exacte est possible dans de tels réseaux en utilisant l’algorithme de l’arbre de jonction [Lauritzen 1992]. Toutefois, dans un réseau bayésien conditionnel hybride gaussien, les variables discrètes ne peuvent avoir de parents continus. Cette restriction peut être partiellement levée en utilisant la fonction logit ou probit, généralisée dans le cas multinomial 39 MGDHW Une approche hybride pour la modélisation des processus de dégradation.

Une autre façon de lever cette restriction est l’utilisation d’un mélange d’exponentielles [Koller et al. 1999], mais l’inférence n’est qu’approchée, et pas exacte. Le modèle de mélange d’exponentielles tronquées a été introduit dans [Moral et al. 2001]. Ce modèle permet l’inférence exacte via un algorithme de l’arbre de jonction, celui de Shafer-Shenoy, et autorise les variables discrètes à avoir des parents continus [Cobb et Shenoy 2006]. Dans le modèle graphique de durée, la variable « durée de séjour » est déterministe lorsqu’il n’y a pas de changement d’état : elle est décrémentée d’une unité.

Ainsi, sa distribution ne peut pas être modélisée par une gaussienne ou par un mélange d’exponentielles tronquées, et les travaux précédemment cités ne sont pas directement applicables aux MGD dans un objectif de rendre continue la variable « durée de séjour ». Toutefois, l’existence de ces approches hybrides encourage à envisager une approche hybride des modèles graphiques de durée, qui respecte la forme particulière de la distribution de la variable temps de séjour dans le modèle graphique de durée. Nous allons commencer par poser le formalisme du modèle graphique de durée dont les variables «durée de séjour» sont continues et suivent une loi de Weibull après chaque changement d’état. 

Formalisme

Soit (Xt)1≤t≤T une suite de variables aléatoires représentant l’état du système sur une période de longueur T. Soit (St)1≤t≤T une suite de variables aléatoires représentant le temps restant avant une modification de l’état du système. Ces variables sont appelées variables de durée ou variables de temps de séjour. Un modèle graphique de durée hybride Weibull est illustré dans la figure 3.1. Figure 3.1 – Modèle graphique de durée Hybride-Weibull Les expressions (2.7), (2.8), (2.9), (2.10), (2.11) et (2.12) introduites au chapitre 3.1. Généralités sur le formalisme des MGDHW 2 pour décrire un MGD deviennent les expressions (3.1), (3.2), (3.4), (3.5), (3.6) et (3.7) détaillées ci-après. La distribution de probabilité conditionnelle associée à la distribution de l’état initial du système doit être définie comme suit, sur le domaine discret et fini ΩX = 1, . . . , NX : P(X1 = i) = Q ini(i) (3.1)

La LPC initiale du temps de séjour donne la distribution pour chaque état initial, elle est définie sur le domaine continu ΩS =]0, +∞[ : fS1|X1=i = fWαi ,βi (3.2) avec fWα,β (s) = β α ( s α ) β−1 e −( s α ) β (3.3) où α est le paramètre d’échelle et β le paramètre de forme. Les valeurs de α et β dépendent de l’état courant.

Dans un premier temps, nous avons choisi de nous intéresser à la loi de Weibull [Weibull 1951], cette loi apparaissant naturellement dans l’étude de la distribution limite du minimum d’un échantillon iid, par exemple dans l’étude de la distribution des différents temps de séjour d’un système constitué de composants dont l’état est déterminé par le pire état de ces derniers. En effet, avec X1, . . . , Xn une suite de variables iid de fonction de densité f sur ]0, +∞[ telle que limx→0+ α βf(x) βxβ−1 = 1, alors n 1 β min(X1, . . . , Xn) converge en loi lorsque n tend vers l’infini vers la loi de Weibull W(α, β) [Ycart 2004].