Méthodologie de construction des relations micro-méso 

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Les mécanismes discrets classiques en micro-mécanique

Micro-Þssuration des plis

Le mécanisme d’endommagement le plus facilement observable lors d’un essai de traction est la micro-Þssuration des plis. Ces Þssures sont paralléles a` la direction des Þbres et s’étendent sur toute l’épaisseur du pli (Fig. 1.2). Les premiers plis affectés par ce mécanisme sont ceux orientés a` 90û, c’est a` dire dont les Þbres sont orientées perpendiculairement a` la direction de la charge. Dans ce cas, on désigne cette dégradation de !! micro-Þssuration transverse «  ». Lorsqu’il n’y a pas de pli a` 90û, la micro-Þssuration apparaö’t alors dans les plis dont l’orientation est la plus grande par rapport a` la charge [Salpekar et O’Brien, 1991]. De par la difference« du module de Poisson entre les plis a` 0û et ceux a` 90û, les micro-Þssures du pli a` 90û peuvent induire des micro-Þssures dans les plis a` 0û que l’on qualiÞe alors de !! micro-Þssures longitudinales «  ».
Lorsque le chargement se développe, le nombre de Þssures transverses augmente et la rigidité longitudinale du stratiÞé diminue. Selon les propriétés du matériau, la micro-Þssuration peut atteindre un niveau de saturation, parfois qualiÞé d’état d’endommagement caractéristique [Highsmith et Reifsnider, 1982]. Une mesure cou-rante de cette dégradation est le nombre de Þssures transverses par centimétre en fonction de la charge appliquée (Fig. 1.8). Dés que ce mode de dégradation devient non négligeable, un motif quasi-périodique de micro-Þssuration apparaö’t (Fig. 1.3).
La cinétique dépend bien évidemment de la ténacit« du matériau et des condi-tions de sollicitation mais la géométrie de l’empilement est également cruciale. Les expériences menées sur des stratiÞés croisées de type [0m/90n]s par Garrett et Bai-ley [Garrett et Bailey, 1977, Parvizi et al., 1978], montrent que la micro-Þssuration apparaö’t et se développe pour des sollicitations plus importantes pour des plis Þns que pour des plis épais. Ce phénoméne est qualiÞé d’effet d’épaisseur ou constraint effect. Comme l’illustre les résultats Fig. 1.4, la déformation longitudinale a` l’ini-tiation de la micro-Þssuration transverse devient constante au-del`a d’une épaisseur dite de transition.
Fig. 1.4: La déformation longitudinale pour initier la micro-Þssuration transverse dans un GFRP [0/90]s en fonction de l’épaisseur totale du pli a` 90û, les carrés correspondent aux points expérimentaux – source [Garrett et Bailey, 1977]
Pour les plis Þns la micro-Þssuration s’initie aux bords libres et se propage de faücon stable dans la largeur de l’éprouvette. Pour des plis épais, les observations ne distinguent pas l’initiation de la propagation des micro-Þssures car elles apparaissent instantanément dans toute la largeur de l’éprouvette.
Dans le cas des sollicitations de fatigue, la propagation des micro-Þssures dépend également de l’amplitude maximale de la contrainte [Boniface et al., 1987]. Pour des amplitudes faibles, les micro-Þssures restent partielles, conÞnées aux zones de bord.

Délaminage local

La formation des micro-Þssures dans l’épaisseur du pli s’arröete habituellement aux interfaces entre le pli considér« et les plis adjacents. Lorsque le chargement aug-mente, les sur-contraintes induites par les pointes de ces micro-Þssures font naö’tre des délaminages locaux entre les plis (Fig. 1.5). En pratique, le développement de ce mé-canisme est responsable de la saturation de l’état de micro-Þssuration et est annon-ciateur d’une rupture Þnale prochaine par localisation des dégradations[Crossman et Wang, 1982].
Lorsque le chargement se développe, l’aire délaminée augmente et la rigidité longitudinale de l’éprouvette diminue [O’Brien, 1982]. Initié par les effets de bord, le délaminage local est tout d’abord conÞné aux zones de bord. Son front est incliné par rapport au plan de la micro-Þssure. Il se propage ensuite sur toute la largeur de l’éprouvette, son front devenant alors majoritairement paralléle au plan de la micro-Þssure. Une mesure de ce mode de dégradation est donc l’aire délaminée.
Lorsque le pli a` 90ûest épais (nombre de couche a` 90ûimportant), les délaminages locaux peuvent apparaö’tre de faücon précoce, voire dés l’apparition de la premiére micro-Þssure [Crossman et Wang, 1982], Fig. 1.14. Par exemple, pour les stratiÞés symétriques equilibrés [±25/90n]s , une chute de la déformation a` l’initiation du délaminage est constaté pour n = 4 [Crossman et Wang, 1982] (Fig. 1.14). Entre n = 3 et n = 4 le mode de dégradation inter-laminaire passe d’un mode de délaminage local de bord a` un mode de délaminage local sur toute la largeur de l’éprouvette.

Les mécanismes diffus non-classique en micro-mécanique

Décohésions Þbres-matrice

Les concentrations de contraintes aux interfaces entre les Þbres et la matrice, et tout particuliérement celles d’orgine thermique, initient des décohésions entres ces constituants (Fig. 1.6). Le nombre de décohésions augmente avec la déformation pour mener a` leur coalescence dans l’épaisseur du pli, créant ainsi une micro-Þssure transverse (Fig. 1.7) [Bailey et Parvizi, 1981, Gamstedt et Sjogren, 1999].
Sous chargement de traction, ce phénoméne est particuliérement accentu« dans les zones de bord libre qui introduisent des gradients de contraintes supplémentaires. Il initie donc, dans ces zones de bord libre, des micro-Þssures transverses partielles qui peuvent se propager ensuite sur la totalité de la section des plis a` 90û.
Sous chargement de cisaillement, obtenu généralement par traction sur des em-pilements tels que [±45]4s , une perte de rigidité en cisaillement conséquente est observée sans apparition de Þssuration transverse (Fig. 1.8 [Lagattu et Lafarie-Frénot, 2000] et Fig. 1.9 [Lubineau, 2002]). La seule prise en compte du mécanisme de micro-Þssuration est mise en échec car la diminution de rigidité est alors pilotée par le mécanisme de décohésion entre les Þbres et la matrice.

Délaminage diffus

Les interfaces entre plis sont des zones de matrice pure qui ont des epaisseurs« irréguliéres et faibles. Sous sollicitation de cisaillement, des décohésions et des micro-vides apparaissent dans ces interfaces entre les plis (Fig. 1.10). Ce mécanisme de délaminage est caractéris« par une échelle d’observation inférieure a` celle du méca-nisme de délaminage local, d’o`u la désignation de délaminage diffus.

Les mécanismes de rupture

Rupture des Þbres

Dans un stratiÞé, les premiers plis endommagés sont ceux dont les directions des Þbres sont les plus inclinées par rapport a` la direction de chargement. Les décohésions Þbres-matrice et les Þssures transverses s’y développent, diminuant progressivement la participation de ces plis a` la rigidité de l’empilement. Les Þbres des plis a` 0û sont alors de plus en plus sollicitées ce qui peut entraö’ner leur rupture brutale et celle de l’empilement.

Délaminage macroscopique

L’effet de déchargement des plis transverses est fortement accélér« par l’appari-tion des délaminages locaux [Jamison et al., 1984]. Leur propagation peut conduire trés rapidement au phénoméne de délaminage macroscopique et donc a` la rupture Þnale de l’empilement.

La séquence des mécanismes jusqu’`a la rupture Þnale

Dans la plupart des cas pratiques, l’enchaö’nement des mécanismes est le suivant. Les dégradations de type diffus se développent de faücon progressive dans les plis et les interfaces. Suite a` leur accumulation, les décohésions Þbres-matrice coalescent dans l’épaisseur du pli. Le mécanisme de Þssuration transverse est initié et se déve-loppe progressivement. Avec l’augmentation du chargement, des délaminages locaux apparaissent aux pointes des micro-Þssures. La compétition entre ces deux derniers mécanismes Þnit avec la saturation de la micro-Þssuration. L’endommagement est alors piloté par délaminage local qui se développe trés rapidement. Finalement, la ruine arrive par la rupture des Þbres et/ou le délaminage global entre les plis.

Modélisations micro-mécaniques

La caractéristique des démarches micro-mécaniques est d’utiliser l’échelle méso du pli aÞn de modéliser les dégradations de faücon discréte. Leur objectif est de prédire l’effet des differents« modes d’endommagement sur les propriétés du stratiÞé ainsi que leur cinétique. De nombreux modéles proposent donc de prédire les évolutions de la densit« de Þssure et du module de rigidité longitudinal du stratiÞé en fonction du chargement de traction et de comparer avec des résultats expérimentaux sur éprouvette simple de traction. Les études sur l’évolution de rigidité en cisaillement sont moins nombreuses. Par la suite x désigne la direction de la charge de traction, qui correspond a` la direction longitudinale du stratiÞé, y est la seconde direction du plan du stratiÞé et z la normale au plan du stratiÞé (Fig. 1.11).
Les travaux de micro-mécanique nécessitent deux étapes : le calcul du champ solution sur la micro-structure Þssurée puis l’application des critéres d’initiation et d’évolution. La littérature est extrémement vaste sur le sujet et propose une grande diversit« d’approches notamment selon :
Ð les mécanismes pris en compte,
Ð le domaine d’étude,
Ð les approximations introduites,
Ð la méthode de résolution,
Ð les critéres adoptés.
En plus de proposer une synthése de ces travaux, les articles de Nairn et de Berthelot montrent que les traitements des polyméres renforcés par des Þbres de carbone (CFRP) et de verre (GFRP) sont assez similaires [Nairn et Hu, 1994, Ber-thelot, 2003].

Analyses du champ solution

Le premier mécanisme observ« est celui de micro-Þssuration transverse, c’est a` dire dans les plis a` 90û. En considérant que ces micro-Þssures traversent toute la largeur de l’éprouvette, leur étude peut öetre approximée par un probléme bi-dimensionnel dans le plan (xz) (Fig. 1.12).
Fig. 1.12: Cellule périodique elémentaire pour l’étude de la Þssuration transverse – source Nairn
Les phénoménes tri-dimensionnels, tels que les effets de bord et les propagations des Þssures dans la direction y, sont ecartés pour le moment. Pour déterminer le champ solution, en contrainte ou bien en déplacement, la majorité des travaux s’est « orientée vers les résolutions analytiques. Etant donnée la géométrie du probléme et la non-isotropie des matériaux, ces résolutions nécessitent systématiquement des approximations.
Les premiéres modélisations reposent sur des raisonnements unidimensionnels, de type shear lag. La dépendance en z est supprimée par des hypothéses de type contraintes planes, moyenne de la contrainte zz nulle dans l’épaisseur du stratiÞé ou encore déplacement vertical uz nul. De plus, et c’est l’hypothése fondamentale de la méthode shear lag, la variation du champ de déplacement uz dans la direction longitudinale du stratiÞé est considérée comme négligeable devant celle de ux dans la direction z ∂uz ∂ux . Par conséquent, la contrainte de cisaillement xz est prise ∂x ∂z proportionnelle a` ∂ux . L’équilibre d’un tronücon du pli Þssuré entre x et x + dx s’écrit ∂z
alors sous la forme d’une équation differentielle« du second ordre dépendant d’un paramétre lié au matériau et a` la géométrie de l’empilement. L’approche initiale de Garrett ne prend en compte qu’une seule Þssure isolée [Garrett et Bailey, 1977]. Lorsque la micro-Þssuration est un peu développée il est alors nécessaire de prendre en compte l’effet des Þssures voisines [Manders et al., 1983]. De nombreux travaux sont dérivés selon le choix de la forme du champ de déplacement ou de contrainte recherch« [Ogin et al., 1985]. L’introduction de bandes de cisaillement entre les plis permet d’avoir un paramétrage de l’approche et donc d’ajuster le modéle par cor-rélation avec l’expérience [Reifsnider, 1977, Fukunaga et al., 1984, Laws et Dvorak, 1988]. L’identiÞcation expérimentale du ratio de l’épaisseur de la bande par son mo-dule de cisaillement est alors nécessaire. Le comportement en cisaillement plan peut öetre pris en compte en couplant deux problémes unidimensionnels [Flaggs, 1985].
Les champs de contrainte obtenus par les approches uni-dimensionnelles sont trés simpliÞés. Notamment, la contrainte de cisaillement xz n’est pas nulle sur les lévres des Þssures, zz est inconnu ou nul, et il n’y pas de distinction possible entre les em-pilements [0m/90n ]s et [90n /0m]s ce qui est contradiction avec l’expérience [Nairn et Hu, 1992a]. Des approches variationnelles bi-dimensionnelles permettent d’abandon-ner certaines hypothéses et ainsi d’obtenir des solutions plus consistantes. Hashin, l’initiateur de ces démarches, introduit pour unique hypothése que le champ xx ne dépend que de x par pli [Hashin, 1985]. La minimisation de l’énergie potentielle com-plémentaire permet alors de calculer les trois composantes du champ de contrainte. Le champ est alors statiquement admissible sur les lévres des Þssures. Dans [Hashin, 1987, Henaff-Gardin et al., 1996a,b], la méthode est étendue a` l’analyse de la micro-Þssuration dans deux plis croisés adjacents permettant ainsi de rendre compte des interactions entre micro-Þssuration transverse et micro-Þssuration longitudinale. Les concentrations de contrainte calculées aux intersections entre les deux réseaux de Þs-sures en font des lieux privilégiés pour l’apparition de délaminage local. Nairn ajoute la prise en compte des chargements thermiques [Nairn, 1989]. Les approches varia-tionnelles sont ensuite améliorées soit en relachant l’hypothése de Hashin [Varna et Berglund, 1994], soit en travaillant en déformations planes généralisées [McCartney, 1992] soit encore en utilisant le principe variationnel de Reissner [Schoeppner et Pagano, 1998]. McCartney propose une revue de ces approches [McCartney et al., 2000].
L’étude du délaminage local fait l’objet d’efforts soutenus depuis une dizaine d’année étant donné l’importance de l’endommagement par délaminage. De faücon assez similaire a` l’étude de la micro-Þssuration, les premiéres analyses sont souvent uni-dimensionnelles et se consacrent a` un délaminage en pointe d’une micro-Þssure isolée [O’Brien, 1985, Dharani et Tang, 1990]. Les effets de bords tri-dimensionnels, souvent a` l’origine de l’initiation de ce mécanisme, nécessitent ensuite des analyses par eléments Þnis [Wang et al., 1985, Fish et Lee, 1990, Salpekar et O’Brien, 1991]. Habituellement le délaminage local apparaö’t lorsque la micro-Þssuration est déj`a bien développée [Crossman et al., 1980, Wang, 1984]. Les approches shear-lag et variationnelles sont alors étendues a` la prise en compte simultanée des réseaux de micro-Þssurations transverses, de délaminages locaux, voir Fig. 1.13, et récemment de micro-Þssurations longitudinales [Nairn et Hu, 1992b, Zhang et al., 1992, Takeda et Ogihara, 1994, Ogihara et Takeda, 1995, Zhang et al., 1999, Berthelot et Corre, 2000, Rebiére et Gamby, 2004].
La méthode des eléments Þnis est également mise a` proÞt [Wang et Crossman, 1980, Wang, 1984, Tong et al., 1997b]. Principalement utilisée pour obtenir une mesure du champ de contrainte, elle permet de valider les solutions analytiques approchées précédemment citées. Elle suggére également des formes de champ so-lution a` introduire dans les approches variationnelles, par exemple pour le cas des plis de peau [Nairn et Hu, 1992a] ou pour une approche en déplacement [Berthelot, 1997]. Cependant, l’approche n’est pas attirante pour construire un modéle micro-mécanique a` part entiére a` cause du nombre de simulations a` effectuer pour rendre compte de la diversit« des situations rencontrées en termes d’état d’endommagement et de séquence d’empilement. En exploitant cette voie, les travaux de Ladevéze et Lubineau ont montré la dégradation de la qualité des approches analytiques de type Hashin lorsque l’épaisseur des plis a` 90û diminue [Lubineau, 2002]. L’approximation introduite par Hashin (contrainte transverse xx constante dans l’épaisseur du pli Þssuré) semble öetre de moins en moins acceptable. De plus, il apparaö’t que le module effectif de rigidité transverse du pli endommag« est quasi-indépendant de la séquence d’empilement ce qui n’est pas correctement rendu par les approches analytiques de type Hashin.

Critéres d’initiation et d’évolution

A partir des solutions précédentes, les auteurs calculent la réduction du module de rigidité longitudinale du stratiÞé en fonction du nombre de micro-Þssures et ou de l’aire délaminée ; celle du module de cisaillement est plus rarement abordée. AÞn de prédire l’initiation des dégradations puis leur évolution en fonction du chargement, il faut se doter de critéres.

Initiation de la micro-Þssuration

Les premiéres approches de shear lag étaient couplées `a des critéres en contrainte : une Þssure transverse est créée au lieu o`u la contrainte dans le pli a` 90û atteint la résistance en traction du pli unidirectionnel [Garrett et Bailey, 1977]. Cependant la corrélation avec les résultats expérimentaux n’est pas satisfaisante, ni pour les plis Þns, ni pour des plis de peaux [90n /0m]s [Nairn et Hu, 1994]. Pour des corrélations correctes avec l’expérience, la valeur critique de la contrainte doit alors etreö traitée comme une caractéristique du stratiÞé et non du matériau [Flaggs et Kural, 1982]. Elle doit donc öetre identiÞée pour chaque séquence d’empilement etudiée.
Pour modéliser correctement l’effet de suppression de la micro-Þssuration trans-verse sur les plis Þns, Parvizi utilise une approche energétique qui est dorénavant trés largement diffusée [Aveston et Kelly, 1973, Parvizi et al., 1978, Wang et Cross-man, 1980, O’Brien, 1982, Wang et al., 1985, Caslini et al., 1987, Laws et Dvorak, 1988, Han et Hahn, 1988, Nairn, 1989, Yalvac et al., 1991, Tong et al., 1997a]. Il est postulé que la premiére micro-Þssure apparaö’t entiérement lorsque le taux de restitution d’énergie Gmf associée `a cette micro-Þssure dépasse un taux critique Gmf c . Gmf c est alors une caractéristique du matériau. Le calcul de Gmf a` partir de la solution du champ de contrainte permet d’introduire directement l’épaisseur du pli dans la vériÞcation du critére. Ainsi, la mécanique discréte de la rupture prédit correctement l’augmentation de la déformation a` l’initiation de la micro-Þssuration lorsque l’épaisseur du pli diminue (Fig. 1.14).
Fig. 1.14: Comparaison prédiction / résultat expérimentaux pour la déformation a` l’initiation de la micro-Þsuration transverse et du délaminage de bord pour des empilements [±25/90n ]s – source [Crossman et Wang, 1982]
Cependant, la qualité des prédictions pour les plis épais s’écarte de celle des critéres en contrainte. Dvorak et Laws propose alors de conserver l’approche éner-gétique en differenciant« deux directions de propagation differentes« pour un défaut au sein du pli [Dvorak et Laws, 1986] (Fig. 1.4). Pour les plis dont l’épaisseur est inférieure a` l’épaisseur de transition, la déformation longitudinale imposée pour la-quelle la micro-Þssuration est initiée augmente lorsque l’épaisseur du pli diminue, alors que pour les plis dont l’épaisseur est supérieure a` l’épaisseur de transition, la déformation a` initiation est constante. Plus récemment, Leguillon et al. présente les deux critéres, en contrainte et en énergie, comme étant des critéres nécessaires qui ensemble paraissent former un critére suffisant [Leguillon et al., 2002].

Evolution de la densit« de micro-Þssures

Les critéres en contrainte couplés a` des approches probabilistes sont trés uti-lisés et permettent des résultats prédictifs [Manders et al., 1983, Fukunaga et al., 1984, Berthelot et Corre, 2000]. Cependant, le besoin de démarches systématiques renforce les modéles energétiques [Caslini et al., 1987]. La prise en compte du ca-ractére discontinu de la micro-Þssuration fut apportée par Laws [Laws et Dvorak, 1988], chaque nouvelle Þssure apportant un incrément d’aire Þssurée de faücon dis-créte. Nairn simule l’évolution de distributions quelconques de micro-Þssures par l’extension des approches variationnelles de type Hashin [Nairn, 1989]. Ces travaux donnent de trés bonnes confrontations expérimentales en rendant compte a` la fois de la rapide augmentation de la densit« de Þssure aprés initiation puis d’une augmen-tation plus faible qui tend vers une saturation (Fig. 1.15). Ces critéres energétiques sont également appliqués pour le comportement en fatigue [McManus et al., 1996].
Fig. 1.15: Densit« de micro-Þssure en fonction du chargement pour trois spécimens AS 4/3501 6 [0/90n]s . Les résultats expérimentaux sont représentés par les symboles et les prédictions en traits continues – source [Nairn et Hu, 1994]

Initiation et évolution du délaminage local

Le premier calcul du taux de restitution d’énergie Gd associé au délaminage en pointe d’une Þssure transverse isolée est du a` O’Brien [O’Brien, 1985]. Gd est alors indépendant de la taille du délaminage. Des calculs par eléments Þnis confortent ces résultats et permettent de prendre en compte differentes« morphologies du front de délaminage [Salpekar et O’Brien, 1991].
Cependant, pour les densités de micro-Þssuration auxquelles le délaminage local apparaö’t, il est essentiel de prendre en compte de la présence des Þssures voisines. Pour cela, Nairn propose d’étendre les approches variationnelles a` la prise en compte des délaminages locaux. Il prédit la compétition entre la micro-Þssuration et le dé-laminage local pour des empilements [(S )/90n]s , (S ) désigne un ensemble de couche equilibr« (Fig. 1.16 source [Nairn et Hu, 1992b]). La densit« critique de micro-Þssuration mise en évidence dépend des propriétés du matériau et de la structure du stratiÞé. Elle est quasi-indépendante des propriétés des plis supports (S ).
Dans la möeme communication [Nairn et Hu, 1992b], les auteurs construisent une solution quasi tri-dimensionnelle permettant de prédire qualitativement que les délaminages locaux, initiés par les interactions entre micro-Þssures et bord libre, se propagent de faücon préférentielle en y vers l’intérieur de l’éprouvette puis lon-gitudinalement en x, conformément aux résultats expérimentaux [Crossman et al., 1980, Crossman et Wang, 1982, Wang, 1984, Takeda et Ogihara, 1994]. Toujours par raisonnement energétique, Zhang prédit l’alternance du délaminage entre les deux interphases a` chaque micro-Þssure du pli a` 90û[Zhang et al., 1992]. Sa prédiction du passage de délaminage de bord a` délaminage local en fonction de l’épaisseur du pli transverse est également conforme aux résultats de [Crossman et Wang, 1982].

Bilan – vers le calcul de structure

On note donc une trés grande palette de travaux micro-mécanique qui aboutissent `a une bonne compréhension de la physique de l’endommagement. Des descriptions adaptées du champ de contrainte et des critéres energétiques permettent de prédire de faücon satisfaisante les deux principaux mécanismes d’endommagement des stra-tiÞés `a Þbres continues : la micro-Þssuration et le délaminage local. Ces approches sont précieuses pour guider le choix d’un matériau car elles permettent d’analyser précisément l’inßuence des differentes« caractéristiques mécaniques du matériau sur son comportement endommag«.
Cependant, le cadre de validité de chaque analyse est systématiquement confronté `a plusieurs limitations importantes. En termes de mécanisme, les mécanismes d’en-dommagement diffus sont toujours ignorés malgré leur impact de premier ordre lors des sollicitations de cisaillement (Fig. 1.8). De plus, le mécanisme de micro-Þssuration n’est introduit que dans un plis a` 90û et/ou a` 0û. Möeme si les plis a` 90û sont les premiers touchés, tous les plis sont susceptibles d’öetre affectés par la micro-Þssuration. En termes de sollicitation, les analyses existantes sont générale-ment établies sous chargement de traction, parfois de cisaillement, et trés rarement de ßexion. Une hypothése de type déformations planes généralisées ou contraintes planes est la plus part du temps introduite.
L’utilisation industrielle des stratiÞés s’oriente vers des piéces massives de cen-taines de plis soumises a` des chargements tri-dimensionnels et nécessite donc des approches systématiques. Actuellement, les modéles micro-mécanique n’apportent pas de solution a` un tel traitement et elles sont encore loin de permettre la prédic-tion du comportement jusqu’`a la rupture Þnale.

Le méso-modéle d’endommagement pour les composites stratiÞés

De trés nombreux travaux ont et« menés dans le cadre de la mécanique continue de l’endommagement [Highsmith et Reifsnider, 1982, Ladevéze, 1983, Talreja, 1985, Allen et al., 1987, Perreux et Oytana, 1993, Hochard et al., 2001]. La Þssuration n’est plus décrite par une discontinuité du milieu mais par un affaiblissement des modules de rigidité de ce milieu. Cette idée originale de Rabotnov et Kachanov a et« développée par Lemaö’tre et Chaboche pour les matériaux isotropes puis étendue aux milieux anisotropes par Ladevéze [Ladevéze, 1983]. L’une des mises en oeuvre de cette théorie est le méso-modéle d’endommagement pour les stratiÞés (aussi noté DML pour Damage Mesomodel for Laminates). Sa caractéristique est de modéliser toutes les dégradations de faücon continue a` l’échelle méso du pli.

Echelle méso

Comme cela a et« décrit dans la section 1.1, lorsque les differents« modes d’endom-magement se développent dans les stratiÞés, des réseaux de Þssures sont distribués de faücon non localisée aux interfaces des hétérogénéités, c’est a` dire aux interfaces Þbres-matrice et aux interfaces entre plis de differentes« orientations. Il en résulte des orientations des réseaux de Þssures tout a` fait particuliéres, corrélées a` l’orientation des Þbres dans les plis. Ainsi l’échelle du pli s’impose naturellement comme échelle de modélisation des mécanismes, les travaux de micro-mécanique en sont l’illustra-tion. D’autres choix sont possibles comme par exemple les modéles de type Talreja qui utilisent l’échelle macro du stratiÞé. Ces modéles sont alors dépendant de la séquence d’empilement [Talreja, 1985]. Le choix de l’échelle du pli qualiÞée de méso, est complét« par deux hypothéses fondamentales [Ladevéze, 1986, 1989].
Premiérement, le méso-modéle postule que le comportement de toute structure stratiÞée peut-öetre prédit jusqu’`a rupture gröace a` deux constituants elémentaires, le pli et l’interface, assimilés `a des milieux continus (Fig. 1.17). Le comportement de chaque constituant est intrinséque, c’est a` dire indépendant de la séquence d’empi-lement, ce qui allége la procédure d’identiÞcation. Les variables d’endommagement sont associées a` la dégradation des modules de rigidité. Deuxiémement, les variables d’endommagement sont supposées constantes dans l’épaisseur du pli, mais varient bien évidemment dans l’épaisseur du stratiÞé.
L’échelle du pli, intermédiaire entre l’échelle de la Þbre et l’échelle du stratiÞé, offre un triple compromis entre une modélisation Þne des mécanismes, une procédure simple d’identiÞcation et une adaptation facile a` la simulation numérique [Ladevéze, 1986, 1989].
Le méso-modéle a montré sa faisabilité et sa pertinence tout particuliérement lors d’études des zones de gradient o`u le champ des contraintes tri-dimensionnel privilégie l’apparition du délaminage [Gornet et al., 1998]. Sa mise en Ïuvre est basée sur les méthodes eléments Þnis et permet :
Ð de résoudre des problémes de structures trouées, au moyen d’un raccord entre la théorie des plaques stratiÞées et une ré-analyse locale tri-dimensionnelle menée au voisinage d’un trou circulaire [Allix et Ladevéze, 1992] (Logiciel DSDM) ;
Ð d’analyser la section d’une éprouvette de traction et simuler le délaminage induit par les gradients de contraintes de bord [Daudeville et Ladevéze, 1994] (Logiciel EDA) ;
Ð d’analyser les sections des éprouvette d’essais DCB, END et MMF aÞn d’iden-tiÞer le modéle d’interface [Gornet, 1996] (Logiciel Endo-Strat-EF) ;
Ð de résoudre des problémes tridimensionnels complets tels que des structures stratiÞées trouées sous sollicitation complexe [Gornet, 1996] (Logiciel Endo-Strat-EF) ;
Ð d’analyser l’inßuence de l’endommagement des extrémités de tubes composites cylindriques [Baranger et al., 2005].
Des versions dérivées du méso-modéle sont maintenant largement diffusées et ex-ploitées tout particuliérement dans les problémes d’impact et de délaminage (DLR, CransÞeld University, Alcatel Space, EADS, Virginia University).

Table des matières

Introduction 
1 Mécanismes de dégradation et modélisation 
1.1 Observations expérimentales et phénoménologie de dégradation
1.1.1 Les mécanismes discrets classiques en micro-mécanique
1.1.1.1 Micro-fissuration des plis
1.1.1.2 Délaminage local
1.1.2 Les mécanismes diffus non-classique en micro-mécanique
1.1.2.1 Décohésions fibres-matrice
1.1.2.2 Délaminage diffus
1.1.3 Les mécanismes de rupture
1.1.3.1 Rupture des fibres
1.1.3.2 Délaminage macroscopique
1.1.4 La séquence des mécanismes jusqu’`a la rupture finale
1.2 Modélisations micro-mécaniques
1.2.1 Analyses du champ solution
1.2.2 Critères d’initiation et d’évolution
1.2.2.1 Initiation de la micro-fissuration
1.2.2.2 évolution de la densité de micro-fissures
1.2.2.3 Initiation et évolution du délaminage local
1.2.3 Bilan – vers le calcul de structure
1.3 Le méso-modèle d’endommagement pour les composites stratifiés
1.3.1 Echelle méso
1.3.2 Modèle de pli
1.3.2.1 Variables internes et forces thermodynamiques
1.3.2.2 Lois d’évolution
1.3.3 Modèle d’interface
1.3.3.1 Variables internes et forces thermodynamiques
1.3.3.2 Lois d’évolution
1.3.4 Modélisation des phénomènes hors-plan
1.4 Comportement hors-plan et synergie micro-méso
2 Méthodologie de construction des relations micro-méso 
2.1 Modélisation de référence
2.1.1 Phénoménologie micro
2.1.2 Problème de référence
2.2 Approximation de la solution de référence
2.2.1 Décomposition par superposition
2.2.2 Hypothèses
2.2.2.1 Hypothèse 1 – géométrie
2.2.2.2 Hypothèse 2 – localisation
2.2.2.3 Hypothèse 3 – chargement résiduel
2.2.3 Problème résiduel
2.3 Solution résiduelle et relation fondamentale
2.3.1 Propriétés de la solution résiduelle
2.3.1.1 Partie plane des champs micro
2.3.1.2 Partie hors-plan des champs micro
2.3.1.3 Synthèse
2.3.2 Relation entre solutions micro et méso
2.4 Décomposition méso-modèle
3 énergie potentielle – opérateurs micro et méso 
3.1 énergie potentielle micro
3.1.1 Cas des contraintes dans le plan
3.1.2 Cas des déformations hors du plan
3.2 énergie potentielle méso et confrontation des échelles
3.2.1 Comportement plan
3.2.2 Comportement hors-plan
3.3 Solution résiduelle
3.3.1 Répartition de l’énergie de déformation résiduelle
3.3.2 Traitement du comportement plan
3.3.3 Traitement du comportement hors-plan
3.4 Problèmes génériques
3.4.1 Problème de base de pli
3.4.1.1 Problème résiduel générique
3.4.1.2 Lien entre variables micro et variables méso
3.4.2 Problème de base d’interface
3.4.2.1 Problème résiduel générique
3.4.2.2 Lien entre variables micro et variables méso
3.4.3 Problème étendu de pli
3.5 Conclusion sur le calcul des relations micro-méso
4 Pont micro-méso et gradients de contraintes 
4.1 Essai de traction – modélisation micro et méso
4.2 Comparaison par cellule
4.3 Comparaison par constituant
4.3.1 Interfaces
4.3.2 Plis
4.4 Conclusions sur la méso-modélisation des zones de gradients
5 Construction d’un méso-modèle amélioré 
5.1 Domaine d’investigation du logiciel micro-méso
5.2 Pont micro-méso et hypothèses sur le comportement méso
5.2.1 Comportement intrinsèque
5.2.1.1 Constituant pli
5.2.1.2 Constituant interface
5.2.1.3 Identification – choix des empilements moyens
5.2.2 Comportement orthotrope de l’interface
5.2.3 Interactions entre les dégradations des plis et des interfaces
5.3 Comportement de l’interface
5.3.1 Variable d’endommagement en traction
5.3.2 Variable d’endommagement en cisaillement
5.3.3 Forces d’endommagement et loi d’évolution
5.3.4 Identification
5.3.5 Influence de l’orientation
5.4 Constituant pli
5.4.1 Variables d’endommagement
5.4.2 Forces d’endommagement et loi d’évolution
5.4.3 Bilan
5.5 Illustration d’une évolution type de l’endommagement
5.5.1 Evolution de l’endommagement diffus
5.5.2 Evolution de la fissuration transverse
5.5.3 Evolution du délaminage local
5.6 Bilan
Conclusion 
A Localisation de l’énergie
B Opérateur L
C Approximation 3D ! 2 × 2D
C.1 Influence de l’orientation relative des plis
C.2 Influence de l’état de dégradation
Bibliographie 

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