Méthodes d’interpolation spatiales

Méthodes d’interpolation spatiales

Dans la première section de ce chapitre, nous définissons les notions de variable régionalisée et de valeurs régionalisées. Dans la deuxième section, nous présentons une revue des méthodes d’interpolation spatiale les plus courantes, comme la méthode des polygones de Thiessen, la méthode barycentrique et la méthode de régression. Dans la troisième section, nous décrivons la méthode du krigeage, en commençant par une étape préalable d’analyse variographique. Les détails mathématiques et les solutions des équations du krigeage sont aussi présentés. La méthode du krigeage avec dérive externe est exposée aussi à la fin de ce chapitre. traitement de données réparties sur un domaine spatial, ce domaine étant appelé quartier et noté Q. Le problème étudié est caractérisé par un ensemble de mesures ou de données simulées, localisées sur le quartier. Par exemple, pour étudier l’exposition radioélectrique, on peut mesurer la densité de la puissance. Une telle mesure est considérée comme une variable régionalisée, c’est-à-dire une fonction définie sur le domaine Q, et la valeur de cette fonction en ce point porte le nom de valeur régionalisée [19]. En pratique, on ne peut pas mesurer l’exposition en tout point s du domaine Q. donc on réalise un ensemble de mesures, notons ces points de mesure si avec i=1,…, N. L’interpolation spatiale nous permet d’estimer l’exposition en tout point s0 du quartier Q autre qu’un des points de mesures. Elle se définit par l’estimation de la valeur de la  Les méthodes d’interpolation qui s’appuyent sur la variable régionalisée sont dites déterministes lorsqu’aucune notion probabiliste n’intervient dans la définition de cette entité mathématique. Un deuxième type de méthode d’interpolation sont dites probabilistes, lorsque la variable régionalisée est considérée comme une réalisation déterministes. Dans le premier exemple de ces méthodes, nous décrivons la méthode des polygones de Thiessen comme un exemple de méthodes d’interpolation par partitionnement de l’espace. La seconde méthode dans cette section est la méthode de l’inverse de la distance.

La méthode des polygones de Thiessen

Dans l’année 1911, Thiessen a proposé une méthode d’interpolation spatiale basée sur que de tout autre point d’observation. Les polygones s’obtiennent en dessinant les médiatrices des segments reliant les points de mesure. Le quartier d’étude est alors partitionné en polygones convexes. Le domaine d’étude présentera des polygones de petite surface pour les données groupées, au contraire des données isolées, qui produiront des polygones de grande superficie [43]. Ensuite, les polygones de Thiessen sont reformés en ajoutant au quartier le point s0 pour lequel une estimation est demandée. Cette nouvelle mosaïque est finalement superposée aux polygones de Thiessen initiaux sans le point s0. Le poids de l’observation en si est alors l’aire Ai de l’intersection entre le polygone de s0 et le polygone initial de si divisée par l’aire totale du polygone de s0.  prend en compte que les points d’observation voisins pour estimer une valeur non mesurée. En conséquence, elle se prive d’une grande quantité d’information disponible [43]. La méthode de l’inverse des distances prend en compte un plus grand nombre de données, en affectant une pondération plus élevée aux valeurs proches qu’aux valeurs éloignées. Cette méthode présente en théorie plusieurs points faibles, car les valeurs interpolées sont toujours comprises entre la valeur minimale et la valeur maximale, et elle ne tient compte que de la distance entre les sites d’observation et le point à estimer, et non de la configuration géométrique des sites d’observation entre eux. Cela implique que la représentativité de l’interpolation est directement corrélée à la densité du réseau.

Dans cette section, nous présentons des méthodes d’interpolation lorsque la variable régionalisée est vue comme une réalisation d’une fonction aléatoire. Parmi ces méthodes, citons la régression classique. La méthode de régression classique est une méthode probabiliste, donc elle suppose que la variable régionalisée soit une fonction aléatoire qui se décompose comme suit [43]: l’interpolation spatiale multivariable peut être effectuée en exploitant la corrélation entre les variables auxiliaires et la variable à interpoler. L’utilisation de la méthode des moindres carrés est accompagnée des hypothèses de normalité, d’indépendance et d’homoscédasticité des erreurs du modèle, elle permet de calculer des tests de significativité de la surface et des erreurs d’estimation. Cependant, ces statistiques ne sont presque jamais fiables en interpolation spatiale car l’hypothèse d’indépendance est rarement vérifiée sur des données spatiales. Le krigeage est une méthode d’interpolation spatiale qui prend en compte la variation spatiale des données. Le nom de Krigeage a été choisi par Georges Matheron en hommage au géologue sud africain Daniel Gerhardus Krige. Néanmoins, la théorie de cette méthode a été développée par Georges Matheron, qui en a aussi assuré le développement au Centre de Géostatistique de l’Ecole des Mines de Paris [16]. L’idée de base du krigeage est d’estimer la valeur de la variable régionalisée en un point s0 par une combinaison linéaire des données :