Méthode FDTD conforme

La méthode des différences finies dans le domaine temporel présente de nombreux avantages. Elle permet des simulations large bande pour des structures complexes. De plus, du fait de la discrétisation spatiale, chaque cellule a des propriétés distinctes, et par conséquent, les milieux inhomogènes peuvent être pris en compte, lors des calculs des champs électromagnétiques. Par ailleurs, du fait de l’orthogonalité des mailles, les contours des objets présentant des courbures ou des surfaces irrégulières, seront donc approchés par des marches d’escaliers ce qui engendre des erreurs.

Afin de minimiser ces erreurs, on peut choisir d’utiliser des mailles très fines, ce qui permet une meilleure représentation de ces contours, mais augmente le temps de calcul, car le pas temporel est fonction du plus petit pas spatial. C’est la raison pour laquelle d’autres méthodes de maillage plus générales ont été développées. Ces méthodes appelées FDTD non orthogonale ou coordonnées curvilignes générales. De nombreux travaux initiés par Stratton [2], puis plus tard par Holland [3] sont une extension du maillage rectangulaire de la méthode FDTD en un maillage curviligne.

Ensuite Fusco [4]-[5] a développé les équations de Maxwell sous la forme discrétisée, pour un système de coordonnées curvilignes non orthogonales. Les travaux de M. Rappaport et T.Kashiwa [6]-[7] s’inspirent de la méthode de Fusco 0-0 en déformant localement le maillage. Parmi les méthodes de maillage plus générales développées, on peut citer le maillage non orthogonal uniforme et structuré, le maillage non orthogonal irrégulier et structuré et le maillage non orthogonal irrégulier et déstructuré. Dans ce chapitre nous allons brièvement présenter chacune de ces méthodes en présentant leurs avantages et inconvénients et indiquer les cas d’utilisation les plus adaptés pour chacune de ces méthodes (cf annexe pour plus de détails), ensuite nous allons présenter notre méthode de FDTD conforme. 

Maillage non orthogonal

La méthode des différences finies permet la résolution des équations de Maxwell permettant d’avoir l’évolution temporelle du champ électromagnétique. Du fait de l’orthogonalité des mailles, les objets rectilignes seront très facilement représentés et on obtiendra à travers des simulations numériques le champ électromagnétique sans erreurs. Cependant les objets présentant des contours seront approchés avec un maillage en escalier ce qui entrainera certainement des erreurs lors des calculs des champs.

Pour parer à ces problèmes, de nombreux travaux se sont développés en proposant un maillage non orthogonal. Parmi ces méthodes nous allons en présenter trois différentes dans cette section.  Le maillage non orthogonal régulier et structuré Ce système de maillage est basé sur un système de coordonnées curvilignes [1]. Les travaux de Stratton [2] et d’Holland [3] démontrent que, si un maillage régulier peut être représenté par un système de coordonnées curvilignes avec un repère global, alors, l’algorithme FDTD peut être appliqué.

Cela est possible en faisant l’analogie des équations de Maxwell d’un système de coordonnées curvilignes en un système de coordonnées cartésiennes (cf. annexe 1.1). Dans le cas d’un maillage non orthogonal, uniforme, et, structuré, on introduit un repère global (𝒖 𝟏 , 𝒖 𝟐 , 𝒖 𝟑 ) (Figure 2.1) avec (𝒂⃗ 𝟏, 𝒂⃗ 𝟐, 𝒂⃗ 𝟑) la base unitaire tangente respectivement à(𝒖 𝟏 , 𝒖 𝟐 , 𝒖 𝟑 ) et (𝒂⃗ 𝟏 , 𝒂⃗ 𝟐 , 𝒂⃗ 𝟑 ) la base réciproque définit par des vecteurs contravariants perpendiculaires respectivement aux faces (𝒖⃗ 𝟑 , 𝒖⃗ 𝟐 ),( 𝒖⃗ 𝟑 , 𝒖⃗ 𝟏 ), (𝒖⃗ 𝟏 , 𝒖⃗ 𝟐 ) Figure 2.1 Vecteurs de base unitaire et réciproque

Les équations curvilignes de Maxwell sont ensuite exprimées en utilisant les composantes covariantes et contravariantes des champs électriques et magnétiques. Puis on applique une discrétisation spatiale et temporelle dont les composantes sont représentées sur un maillage dual Figure (2.2) en utilisant l’approximation de la différence centrée. 29 Figure 2.2 Répartition des composantes covariantes des champs électriques et magnétiques Tout comme la maille de Yee, les composantes des champs électriques sont localisées aux arêtes de chaque face et des champs magnétiques au centre.

Cependant les composantes covariantes et contravariantes intervenant dans le calcul des champs ne sont pas co- localisés. Afin de maintenir la précision du second ordre, un calcul de moyenne est effectué sur les composantes contravarariantes permettant ainsi la projection du champ covariant. Le principal avantage de cette méthode est qu’il est basé sur un système de coordonnées curvilignes ce qui nous permet ainsi d’avoir une meilleure modélisation des objets présentant une courbure.

Cependant cette modélisation devient très vite limitée du fait que le repère curviligne est global et que la taille des mailles n’est pas variable. Avec ce type de maillage il faudra que l’objet soit parfaitement modélisable à partir du repère global pour ne pas avoir d’erreurs lors du calcul du champ électromagnétique. Le cas échéant, il sera modélisé au mieux sachant que la taille des mailles est fixe. Afin d’avoir une meilleure précision, il faudra donc réduire la taille des mailles ce qui augmentera inévitablement le temps de calcul.