Méthode duale pour le problème d’ optimisation de portefeuille

 Méthode duale pour le problème  d’ optimisation de portefeuille

Introduction 

Nous avons vu dans le chapitre précédent, comment les méthodes de programmation dynamique et de contrôle stochastique, nous ont permis d’établir des équations aux dérivées partielles non linéaires (équations de HJB) que 89 Méthode duale pour le problème d’ optimisation de portefeuille These:version du lundi 15 février 2010 à 10 h 25 Chapitre 3. Méthode duale pour le problème d’ optimisation de portefeuille doivent satisfaire les fonctions valeurs d’un problème d’optimisation de portefeuille. Mais le principe de cette méthode repose sur le fait que le marché était supposé markovien, c’est-à-dire que les paramètres du modèles sont des fonctions déterministes du temps et de l’état du système (cours des actifs) ainsi que la solution v. L’introduction par Ross [99], Harrison et Kreps [41], et Harison et Pliska [40] des mesures martingales équivalentes a permis de considérer un modèle plus général où le marché n’est plus supposé markovien. Cette nouvelle technique est basée sur l’approche par dualité du problème d’optimisation de portefeuille. Le cadre du marché complet, où l’ensemble des mesures martingales est réduit à un seul élément, a été développé, essentiellement, par Cox et Huang, Karatzas, Lechoczky et Shreve et Pliska. Le modèle plus compliqué de marché incomplet a été considéré par He et Pearson, Karatzas et Shreve et Xu [54] puis par Kramkov et Shachamayer . Le but de ce chapitre est d’étudier le problème d’optimisation de portefeuille d’un point de vue dual. Le modèle de marché considéré dans ce chapitre est un modèle de marché incomplet, constitué d’ un actif sans risque ξ0, dont nous supposons le prix constant égal à 1, et de d actifs risqués dont les prix notés (ξ i )i=1..d sont des semimartingales, dans un espace de probabilité filtré (Ω,(Ft)t≤T , P). Un vecteur π ∈ R d est une autofinançante, pour une richesse initiale x, π est un processus progressif intégrable par rapport à ξ, ainsi la richesse réalisée X x,π t partant d’un capital initial x et suivant la stratégie π est donnée par X x,π t = x + Z t 0 πsdξs, t ≤ T. (3.1) Pour x ∈ R+, nous notons par X (x), la famille des richesses positives à tout instant t ≤ T, c-à-d. X x,π t ≥ 0 pour tout t ∈ [0, T], partant de x et dont la stratégie π est une stratégie autofinançante. Autrement dit, X (x) = {X x,π ≥ 0 : X x,π t = x + Z t 0 πsdξs, t ≤ T, π autofinançante}. (3.2) Notons par Me l’ensemble des probabilités équivalentes (probabilités martingales), défini par Me = {Q ∼ P : ∀X ∈ X (.), X est une Q-martingale locale } . (3.3) 90 These:version du lundi 15 février 2010 à 10 h 25 3.1. Introduction Comme nous nous plaçons dans un marché sans opportunité d’arbitrage nous supposons que Me 6= ∅. (3.4) 

Le problème d’optimisation de portefeuille

 Soit U une fonction d’utilité d’un agent à maturité T. Nous rappelons que U est une fonction continue sur son domaine dom(U) = {x ∈ R : U(x) > −∞}, dérivable, strictement croissante et strictement concave à l’intérieur de dom(U). Dans ce chapitre nous nous plaçons dans le cadre où Hypothèse 3.1. La fonction d’utilité U satisfait dom(U) = [0, +∞] (3.5) ce qui veut dire que, seulement, les richesses positives sont autorisées. Nous supposons, de plus, que U satisfait l’hypothèse dite d’Inada suivante : Hypothèse 3.2. La fonction d’ utilité U satisfait U ′ (0) def = lim x↓0 U ′ (x) = +∞, et U′ (∞) def = lim x→+∞ U ′ (x) = 0. (3.6) Une fois sur le marché, cet agent cherchera à déterminer sa stratégie optimale et sa fonction valeur u donnée par le problème d’optimisation suivant : u(x) = sup X∈X(x) E(U(T, XT )). (3.7) Supposons ensuite : Hypothèse 3.3. Il existe x0 > 0 tel que la fonction valeur u, satisfait u(x0) < +∞. (3.8) Remarque 3.1. Remarquons que cette hypothèse est équivalente à u(x) < +∞, ∀x > 0. (3.9) En effet, comme U est croissante concave, il en est de même pour la fonction valeur u. Donc la croissance de u va impliquer dans un premier temps que, pour tout x ≤ x0, u(x) ≤ u(x0) < +∞. 91 These:version du lundi 15 février 2010 à 10 h 25 Chapitre 3. Méthode duale pour le problème d’ optimisation de portefeuille Soit maintenant x1 ≥ x0 quelconque. Pour conclure il faut montrer que u(x1) < +∞. Pour cela il faut juste remarquer qu’on peut toujours trouver un x ′ 0 ≤ x0, λ ∈ [0, 1] : x0 = λx1 + (1 − λ)x ′ 0 , donc, puisque u est concave, nous déduisons l’inégalité suivante u(x1) ≤ u(x0) − λu(x ′ 0 ) 1 − λ < +∞. (3.10) Notons que l’ hypothèse 3.3 porte directement sur la fonction valeur en ellemême, ce qui peut nous paraître étrange, mais nous verrons dans la suite qu’elle est automatiquement satisfaite dès que U vérifie une condition dite d élasticité asymptotique. Avant d’introduire la méthode dite duale, quelques hypothèses et définitions sont nécessaires, nous supposons par exemple que dans toute la suite les fonctions d’utilités que nous allons considérer vérifient les conditions d’Inada 3.2, ce qui va nous permettre, dans un premier temps, d’introduire la notion du convexe dual, appelé aussi la transformée de Fenchel. 

Approche par Dualité 

Fonctions polaires : transformée de enchel-Legendre

 Définition 3.1. On appelle transformée de Fenchel d’une fonction U de R d dans R¯, croissante concave et vérifiant l’hypothèse 3.2, la fonction U˜, définie par : U˜(y) = sup x∈Rd [U(x) − xy] , y ∈ R d . (3.11) Nous notons dom(U˜) le domaine de U˜ donné par dom(U˜) = n y > 0 : U˜(y) < +∞ o . La fonction polaire U˜ ainsi définie comme le supremum point par point des fonctions affines y 7→ U(x) − xy est alors une fonction convexe sur R d . La fonction U˜ est aussi appelée fonction polaire. On peut également définir la transformée de Fenchel-Legendre de la transformée de Fenchel-Legendre. Dans les résultats suivants, nous établissons un lien entre la différentiabilité de U et celle de son dual. These:version du lundi 15 février 2010 à 10 h 25 3.2. Approche par Dualité Proposition 3.1. Soit U une fonction concave semi-continue inférieurement de R d dans R¯ et U˜ sa transformée de Fenchel. Alors pour tout x, y ∈ R d , les équivalences suivantes sont satisfaites y ∈ ∂U(x) ⇔ x ∈ ∂U˜(y) ⇔ U(x) = xy + U˜(y). (3.12) Proposition 3.2. Soit U une fonction concave semicontinue inférieurement de R d dans R¯, strictement concave sur Int(dom(U)). Alors sa transformée de Fenchel-Legendre U˜ est différentiable sur Int(dom(U˜)). Si de plus, U est différentiable sur Int(dom(U)) alors son gradient U ′ est une bijection de Int(dom(U)) dans Int(dom(U˜)) avec U ′ = −(U˜′ ) −1 et U˜ est est strictement convexe sur Int(dom(U˜)). Dans la suite, les fonctions U qui nous intéressent sont des fonctions à une variable définies sur R ∗ +. Nous retenons en particulier le résultat suivant. Lemme 3.1. Soit U une fonction concave croissante dérivable telle que U ′ (∞) = 0, notons I = (U ′ ) −1 (strictement décroissante, et vérifiant I(0) = +∞, I(+∞) = 0), alors le dual convexe U˜ de U est une fonction croissante semi-continue vérifiant : (i) Le dual convexe U˜, est donné par U˜(y) =    U(I(y)) − yI(y) si y > 0 U(∞) si y = 0 ∞ si y < 0. (3.13) (ii) U˜′ est définie, continue croissante U˜′ = −I. (iii) La transformation duale (3.11) admet une transformation inverse. En effet U peut être retrouvée par la formule U(x) = inf y>0 h U˜(y) + xyi , x > 0 (3.14) ou encore pour tout x > 0, U(x) = U˜((U˜) −1 (−x)) + x(U˜) −1 (−x). (3.15) 93 These:version du lundi 15 février 2010 à 10 h 25 Chapitre 3. Méthode duale pour le problème d’ optimisation de portefeuille 3.2.2 La formulation duale : idée générale Comme l’indique le titre, ce paragraphe a pour but de simplifier la compréhension de cette nouvelle approche, en donnant simplement l’idée générale de cette méthode, les détails de calculs et les difficultés techniques seront abordés et étudiés essentiellement dans le paragraphe suivant. Soient x > 0, y > 0, XT ∈ X (x) et enfin ZT ∈ Me , alors par (3.3) et par définition du conjugué U˜, nous avons : E(U(XT )) ≤ E(U˜(yZT ) + yZT XT ) ≤ E(U˜(yZT )) + yx (3.16) ceci étant vrai pour tout Z ∈ Me , en particulier l’inégalité suivante est vraie : E(U(XT )) ≤ inf ZT ∈Me E(U˜(yZT )) + yx. (3.17) Notons ensuite u˜ la fonction valeur du problème dit dual suivant : u˜(y) def = inf ZT ∈Me E(U˜(yZT )). (3.18) Prenons le supremum sur tous les XT et l’infimum sur tous les y dans (3.17), nous obtenons : u(x) ≤ inf y>0 [˜u(y) + xy] = inf y>0, ZT ∈Me [E(U˜(yZT )) + yx] (3.19) Intéressons-nous au problème d’optimisation à droite de cette inégalité inf y>0 [˜u(y) + xy] = inf y>0, ZT ∈Me [E(U˜(yZT )) + yx]. (3.20) et supposons qu’il existe un couple, (y ∗ , Z∗ T ), optimal pour ce problème. Alors en posant X ∗ T = I(y ∗Z ∗ T ), (3.21) l’idée est alors de montrer que cette variable X∗ T est non seulement dans l’espace X (x), mais aussi que X∗ TZ ∗ T est une martingale c-à-d : E(X ∗ TZ ∗ T ) = x. (3.22) These:version du lundi 15 février 2010 à 10 h 25 3.2. Approche par Dualité De plus les équations (3.21) et (3.13) vont nous permettre, en particulier, d’écrire que U(X ∗ T ) = U(I(y ∗Z ∗ T )) = U˜(y ∗Z ∗ T ) + y ∗Z ∗ T I(y ∗Z ∗ T ) = U˜(y ∗Z ∗ T ) + y ∗Z ∗ T X ∗ T . (3.23) En prenant l’espérance et en tenant compte de l’identité (3.22), nous obtenons E(U(X ∗ T )) = E(U˜(y ∗Z ∗ T )) + y ∗E(Z ∗ T X ∗ T ) = E(U˜(y ∗Z ∗ T )) + y ∗x. (3.24) Or par définition de la fonction valeur u (équation (3.7)), nous avons l’inégalité E(U(X ∗ T )) ≤ u(x). Combinons cette dernière inégalité avec (3.19), nous déduisons que c’est bien une égalité. Ce qui implique que non seulement cette variable X x,∗ T est optimale pour le problème primal, mais aussi que la relation de conjugaison pour les deux fonctions valeur du problème primal u et du problème dual u˜ est satisfaite, u(x) = inf y>0 {u˜(y) + xy} = ˜u(y ∗ ) + xy∗ . (3.25) Remarque 3.2. Supposons que ∀y > 0 il existe ZT ∈ Me : E(U˜(yZT )) < ∞, alors la fonction valeur du problème dual est finie, c-à-d u˜(y) < ∞ , ∀y > 0 donc, d’après l’inégalité (3.19), u(x) ≤ inf y>0 {u˜(y) + xy} < +∞. En particulier, u(x) x ≤ u˜(y) x + y, ∀x, y > 0. (3.26) Nous en dédui alors, en passant à la limite supérieure, que la condition lim sup x→∞ u(x) x ≤ 0 est satisfaite. 95 These:version du lundi 15 février 2010 à 10 h 25 Chapitre 3. Méthode duale pour le problème d’ optimisation de portefeuille 3.3 Résolution par dualité Notons L 0 +(Ω, FT , P) l’ensemble des variables aléatoires FT -mesurables et positives p.s, et pour x ∈ R, nous noterons par C(x) l’ensemble des actifs contingents qui peuvent être sur-couverts sans risque à partir de la richesse initiale x et d’une stratégie de portefeuille admissible, C(x) =  XT ∈ L 0 +(Ω, FT , P) : ∃π ∈ A(x), Xx,π T ≥ XT =  XT ∈ L 0 +(Ω, FT , P) : ∃π ∈ A(x), x + Z T 0 πsdξs ≥ XT  (3.27) Ceci nous amène alors à la formulation duale de C(x) suivante XT ∈ C(x) ⇔ E(ZT XT ) ≤ x, ∀Z ∈ Me (3.28) La raison pour laquelle nous introduisons l’ensemble C(x) est due essentiellement à ces propriétés intéressantes dans toute cette approche par dualité et notamment le fait que C(x) soit fermé pour la convergence en mesure (théorème 3.9 ) contrairement à X (x). De plus, nous avons le lemme suivant : Lemme 3.2. Dans la définition (3.7) de la fonction valeur u, nous pouvons remplacer l’ensemble X (x) par C(x). En d’autres termes u(x) = sup X∈X(x) E(U(T, XT )) = sup X∈C(x) E(U(T, XT )). (3.29) Démonstration. En remarquant que X (x) ⊂ C(x), sup X∈X(x) E(U(T, XT )) ≤ sup X∈C(x) E(U(T, XT )). (3.30) Par la suite, comme pour tout X ∈ C(x), il existe X′ ∈ X (x) tel que X′ ≥ X, il en découle, par monotonie de la fonction d’utilité U, l’inégalité dans l’autre sens. En se basant sur ce lemme, nous pouvons alors énoncer un premier résultat d’existence d’une richesse optimale au problème (3.29).