Méthode des éléments finis pour le calcul linéaire de la stabilité de la solution de conduction

Théorie linéaire de la stabilité

Les équations linéaires admettent des solutions. C’est pour cela qu’on en rencontre autant dans les manuels. Les systèmes linéaires donnent l’avantage de jouer librement avec les lois de compositions algébriques les plus banales, on peut décomposer ces problèmes et les reconstituer, leurs éléments s’emboitent. Le problème de NAVIER-STOKES, par excellence non linéaire et couplé, devra être, comme l’impose la tradition scientifique, linéarisé afin qu’il obéisse à cette règle du jeu.

Une technique mathématiquement rigoureuse est indispensable à cet effet. La théorie d’analyse fonctionnelle nous donne la grande faveur de gérer les équivalences, pas à pas vers la linéarité, entre les problèmes durement compliqués, sous des contraintes mathématiques consistantes. L’un des plus beaux exploits de cette théorie est la méthode des éléments finis, qui sera notre outil d’obtention des valeurs des seuils de stabilité en termes de vecteurs , , , ,  via une démarche longuement compliquée. La présentation de la technique est l’objet de ce chapitre.

Mise sous forme adimensionnelle

Les longueurs sont comparées à la hauteur de la cavité prise comme référence. La vitesse est adimensionnée par rapport à la diffusivité thermique . Par ailleurs la température et la concentration sont adimensionnées respectivement par rapport aux écarts de température et de concentration entre les deux parois horizontales de la cavité. Les variables adimensionnelles sont données par : 

Équations aux perturbations

Dans le but de faciliter l’usage de la formulation variationnelle, nous allons décomposer la solution générale des équations de base en la somme d’une solution conductive et d’une autre convective de la manière :  représentent respectivement, les solutions conductive et convective du problème.