Méthode des différences finies dans le domaine temporel

La méthode des différences finies est une méthode numérique qui permet la résolution des équations de Maxwell dans le domaine temporel.

La résolution numérique de ces équations se traduit par une discrétisation sur un maillage qui représente l’espace de calcul Dans ce chapitre on va décrire la méthode des différences finies dans le domaine temporel en définissant le principe de la méthode de manière générale, puis la définition de l’excitation qui peut être apportée par une source ponctuelle ou par une onde plane et enfin on définit les conditions limites afin d’imposer des frontières pour des structures qui émettent vers l’infini. On termine en présentant les évolutions de la méthode. 

Principes de la méthode

Afin d’avoir l’évolution temporelle du champ électromagnétique dans tout l’espace de calcul, ce volume de calcul est divisé en un ensemble de cellules élémentaires appelés cellules de Yee 0. Les valeurs des champs électriques et magnétiques sont calculées en tout point de la structure et à chaque instant une fois qu’on aura imposé une excitation. Dans un milieu linéaire, homogène, isotrope, les équations différentielles de Maxwell dans le domaine temporel sont définies par 0.

Discrétisation spatiale et temporelle des équations de Maxwell

En prenant une des six équations de Maxwell comme exemple : 𝜕𝐻⃗ 𝑧 𝜕𝑡 = − 1 𝜇 [ 𝜕𝐸⃗ 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕𝐸⃗ 𝑥 𝜕𝑦 ] On remarque que cette équation fait intervenir une dérivée de Ey par rapport à x pour le calcul de Hz ainsi qu’une dérivée de Ex par rapport à y. Hz doit donc se trouver sur l’intersection de deux segments parallèles à Ox et Oy, avec comme extrémités deux champs connus de Ey et Ex. On constate donc que les champs électriques et magnétiques ne seront pas calculés aux mêmes points du maillage.

La Figure 1.2 montre la répartition des champs électromagnétiques sur une maille élémentaire. Figure 1.2 Répartition spatiale des champs électromagnétiques sur une maille de Yee De plus en prenant toujours l’équation (1.12), on remarque que le membre de gauche fait intervenir une dérivée temporelle du champ magnétique. Le champ magnétique sera donc calculé entre deux instants de temps successifs où on calcule le champ magnétique

Critères de stabilité

Les équations du champ électromagnétique répondent à un schéma explicite, c’est-à-dire que l’on n’a pas besoin de système matriciel pour résoudre ces équations. On est cependant limité par le choix du pas temporel. En effet le pas temporel choisi doit respecter le critère de stabilité défini comme suit :Avec c la célérité de la lumière dans le milieu de propagation.

∆𝒙,∆𝒚 et∆𝒛les pas de discrétisation spatiale. Il faut que le pas temporel soit suffisant, afin de pouvoir décrire la propagation de l’onde d’un nœud à un autre nœud le plus proche distant de Δ. Plus le maillage sera fin plus le nombre d’itérations pour décrire un temps T sera important. 1.2. Définition de l’excitation Pour une structure à analyser donnée, les informations que l’on va pouvoir tirer d’une simulation électromagnétique sont tributaires de la façon dont cette structure est excitée.

L’excitation est donc un aspect fondamental de la modélisation électromagnétique. Elle permet d’alimenter la structure en imposant en un endroit donné du maillage, un signal numérique qui va se propager dans la structure. Le choix de la source électromagnétique va dépendre de la forme de cette structure et de la bande de fréquence ciblée.

Pour balayer un large spectre de fréquences avec une seule simulation, on utilisera un signal de type Gaussien dont l’équivalent fréquentiel est une “demi-Gaussienne” et dont la valeur est maximale pour la fréquence nulle. En effet un tel signal est borné dans le temps fréquentielles et l’absence de variation abrupte permet ainsi de ne pas générer des erreurs de calcul. Il est donc bien adapté à la méthode FDTD