Méthode de transformation

Dans ce chapitre, on va développer la méthode de transformation abordée dans le chapitre 1. On présentera d’abord différentes méthodes de construction d’une transformation aléatoire. Ensuite, on abordera les critères de choix de la transformation. Un estimateur d’erreur a priori sera proposé pour cela. Finalement, la prise en compte de la discontinuité au niveau stochastique qui apparaît dans le calcul des grandeurs locales est discutée. La difficulté principale dans la méthode de transformation réside dans la détermination de la transformation aléatoire. Pour un problème où la géométrie prend une forme simple, une transformation analytique peut être mise en place. Par contre, les systèmes électromagnétiques en pratique prennent souvent une forme complexe où une transformation analytique n’est pas aisément disponible. Dans ce cas, une méthode systématique pour la détermination de la transformation est nécessaire. Dans cette partie, on s’intéresse d’abord à un exemple de magnétostatique simple où une transformation analytique est disponible. L’objectif de cet exemple est d’illustrer l’application de la méthode de transformation pour résoudre un problème électromagnétique avec la géométrie aléatoire. Puis, deux méthodes numériques pour déterminer la transformation sont proposées. La première méthode proposée dans [8] est basée sur la résolution des équations de Laplace que nous nommerons par la suite la méthode du Laplacien. La deuxième méthode que nous avons développée [32, 33] est basée sur une transformation géométrique (méthode géométrique). Ces deux méthodes vont être illustrées et comparées sur plusieurs cas académiques. Finalement, une discussion sur la transformation « discrète » associée à une transformation continue et qui est équivalente à une déformation de maillage est proposée.

Illustration de la méthode de transformation

On s’intéresse à l’exemple de magnétostatique présenté Figure 16. Le domaine aléatoire D est un cube de dimension 2a = 4. Ce domaine se compose d’un cube D1 de perméabilité µ1 = 10 de dimensions aléatoires 2l1 x 2l2 x 2l3 et D2, le complément du domaine D1 dans D, de perméabilité µ2 = 1. Les deux cubes D1 et D ont le même centre. On prend pour les dimensions l = (l1, l2, l3) des variables aléatoires uniformes indépendantes dans l’intervalle [0.5a ; 0.75a]. On peut constater que le vecteur aléatoire l peut être exprimé en fonction d’un vecteur des variables aléatoires uniformes indépendantes ξ = (ξ1, ξ2, ξ3) définies dans [-1 ; 1]: En raison de la symétrie du système défini Figure 16, le domaine D peut être coupé en 8 sous- domaines D’(ξ) identiques. On considère l’énergie W(ξ) du problème défini sur le domaine D’(ξ) (Figure 17). Dans cet exemple, on va appliquer la méthode de transformation pour calculer l’espérance et l’écart-type de W(ξ). Concernant la méthode de transformation, on va ramener le problème défini sur D’(ξ) (problème initial) à un problème défini sur un domaine de référence E (problème de référence) en utilisant la transformation présentée Figure 18: On utilise la même méthode pour déterminer la perméabilité sur les autres sous-domaines de E. Les incertitudes dans le cas du problème défini sur le domaine de référence E sont portées par les lois de comportement et non plus par les dimensions qui sont ici déterministes. Concernant le problème défini sur E, l’énergie magnétique peut être approchée par la méthode de projection non intrusive (voir partie 1.3). Elle est approchée sous la forme suivante :

On a vu dans (1.72) que le calcul numérique de l’intégral (2.4) nécessite n évaluations de W(ξk), k=1 :n, correspondant à la réalisation de la variable ξ = ξk. Pour évaluer W(ξk), on détermine d’abord la matrice jacobienne de la transformation pour chaque ξ = ξk. Puis, la perméabilité µ’(X,ξk) du domaine E est calculée en utilisant (1.135). Ensuite, on résout le problème défini sur le Sur la Figure 22 et la Figure 23, la valeur moyenne et l’écart-type de l’énergie obtenue par les deux méthodes ont été tracés en fonction de la taille du maillage utilisé. Pour chaque méthode, les deux formulations en potentiel scalaire et en potentiel vecteur ont été mises en œuvre (voir la partie 1.2.1.3). Les maillages M1, M2, M3 et M4 avec un nombre d’éléments de nM1=228, nM2=1729, nM3=2951 et nM4=6825 ont été utilisés pour la méthode de transformation. Pour la méthode de remaillage, 4 groupes Gi, i=1 :4 de maillages ont été utilisés. On impose un nombre similaire d’éléments à celui du maillage Mi pour les maillages du groupe Gi, i=1 :4. On constate un encadrement des valeurs moyennes de l’énergie obtenues par les deux formulations en potentiel et une convergence des résultats lorsque le maillage s’affine. Ce résultat commenté dans [18] peut être expliqué de la manière suivante :