Méta-modèles et analyse dimensionnelle au service de la thermique des systèmes multi-physiques

Etat de l’art sur la modélisation thermique des systèmes multi-physiques Pour modéliser et étudier thermiquement un système multi-physiques en phase de conception préliminaire, l’ingénieur s’appuie aujourd’hui sur des relations semi-empiriques, des abaques mais aussi sur des modèles mathématiques. Dans cette première partie, il sera tout d’abord présenté quelques généralités sur les approches et modèles actuellement utilisés pour la modélisation thermique de systèmes multi-physiques. Dans un second temps, les avantages et les limitations de ces approches seront discutés.

Méthodes et approches pour la modélisation thermique

La modélisation est définie comme la conception d’un modèle. Selon l’objectif et les méthodes employées, le modèle peut être mathématique, physique, empirique, etc. En effet, les approches utilisées pour la construction d’un modèle thermique peuvent prendre différentes formes suivant les méthodes employées. Une première catégorie regroupe les approches basées sur des techniques mathématiques : méta-modèles, surfaces de réponse. La seconde catégorie comprend les méthodes plutôt basées sur la physique du problème étudié : résolution analytique, lois de corrélation, analyse dimensionnelle. Une dernière catégorie peut être les méthodes qui emploient des approches numériques : méthode des éléments ou volumes finis, différences finies.

Approches mathématiques : Méta-modèles, surfaces de réponse

Comme énoncé précédemment, la modélisation thermique d’un système peut se réaliser à partir d’approches qui utilisent des modèles purement mathématiques pour représenter un système en partie ou dans sa globalité. Un modèle mathématique peut être représenté sous la forme suivante (Kai-Tai, Runze and Agus, 2006) : ݕ ൌ ݂ሺݔଵǡ ǥ ǡ ݔ௡ ሻ ൌ ݂ሺ࢞ሻǡ ࢞ ൌ ሺݔଵǡ Ǥ Ǥ ǡ ݔ௡ ሻ (I.1) Où ࢞ contient les variables d’entrée, ݕ est la variable de sortie et ݂ la fonction recherchée. L’équation (I.1) doit être vue comme la solution d’un ensemble d’équations représentant le système étudié. Ces équations peuvent être linéaires, non-linéaires, différentielles ou à dérivées partielles dans certains cas. Bien souvent, pour les systèmes techniques réels, il est difficile d’obtenir la solution exacte. On peut alors représenter la solution à l’aide d’une forme approchée appelée méta-modèle ou modèle de substitution (surrogate en anglais). Il existe différents cas où l’on peut faire appel aux méta-modèles (Simpson et al., 2001) : · La connaissance du système est regroupée dans une base de données statistiques et il n’existe pas de modèles mathématiques correspondants. · Le problème de conception nécessite des essais expérimentaux. · Le problème de conception est implicite, et il doit être résolu pour obtenir la variable désirée.

Choix de l’expression mathématique

Dans ce paragraphe nous commencerons par présenter les différents modèles mathématiques qui sont généralement utilisés pour construire des méta-modèles, et puis nous comparerons ces méthodes sur un exemple numérique simple. Une loi en puissance est une relation mathématique de la forme suivante : ଵݔ݇ ൌ ݕ ଶݔ௔ ଷݔ௕ ௖ ǥ (I.3) où ݕ est une variable de sortie, ݔଵǡ ݔଶǡ ݔଷ sont des variables d’entrée et ݇ǡ ܽǡ ܾ et ܿ sont des constantes numériques. De nombreuses lois en puissance ont été identifiées par les scientifiques dans différents domaines (Stevens, 1957; Kepler et al., 1997). Les modèles à bases polynomiales sont très utilisés de nos jours. Ces modèles utilisent une base polynomiale du type sont des entiers positifs. Du point de vue mathématique l’utilisation de ces modèles nécessite de faire l’hypothèse que la surface représentant la solution recherchée est continue et dérivable.

Le nombre de fonctions à base polynomiale augmente avec le nombre d’entrée d’un modèle et le degré du polynôme utilisé. Les polynômes de degré faible, comme ceux du second ou troisième ordre par exemple, sont très utilisés pour la construction de méta-modèles. Les modèles du second ordre (équation (I.4)) sont souvent cités dans la littérature dès qu’il est question de « surfaces de réponse » (Morris and Mitchell, 1995; Myers, Montgomery and Anderson-Cook, 2009).