Mesures et incertitudes – Chiffres significatifs

La pratique des sciences fondamentales et appliquées conduit à réaliser des mesures. Toute mesure est entachée d’erreurs aléatoires dues au matériel, aux paramètres physiques mis en jeu, et à l’opérateur ; ces erreurs ont des valeurs inconnues et l’on peut seulement les estimer. Les résultats de mesures peuvent être utilisés pour calculer une nouvelle grandeur : le résultat devra être présenté avec un nombre de chiffres significatifs cohérent avec la précision des données. La bonne estimation des erreurs doit conduire à exprimer le résultat de la mesure x d’une grandeur X sous la forme x =  , écrit sous la forme allégée : x = x représente l’incertitude sur la valeur de x, avec un niveau de confiance qui doit être précisé : sa valeur par défaut est 95% . Exemple 1 : L = 8,2L = 0,1 cm : – la vraie valeur de L a 95% de chances de se trouver dans l’intervalle [8,1 ; 8,3] – une mesure de L par la même méthode a 95% de chances d’être dans l’intervalle [8,0 ; 8,3] Exemple 2 : L = 8,20 L = 0,01 cm : – la vraie valeur de L a 95% de chances de se trouver dans l’intervalle [ ] On peut comparer la précision de chacune des mesures données en exemple en calculant une incertitude relative : Exemple 1 : , soit 1,2 % % ; cette mesure est laprécise. On remarque que le zéro après la virgule dans (8,20) a ici de l’importance, il renseigne sur la précision de la mesure, c’est un chiffre significatif.

8,2 cm = 0,082 m = 8,2.10… m = mm comporte 2 chiffres significatifs. 8,20 cm = 0,0820 m = 8,mm comporte 3 chiffres significatifs. Exemple 3 : valeur de la constante de gravitation disponible sur le site internet du NIST ( National Institute of standards and Technology) Newtonian constant of gravitation : G = 6.674 28 x 10-11 m3 kg-1 s-2 Standard uncertainty 0.000 67 x 10-11 m3 kg-1 s-2 : c’est un écart-type associé à 68% de confiance. Relative standard uncertainty 1.0 x 10-4 : c’est-à-dire  avec un niveau de confiance 68 % II Incertitudes de mesures Le vocabulaire et les notions employées ici suivent les préconisations du BIMP (Bureau International des Poids et Mesures) précisées dans des documents suivants : VIM (Vocabulaire International de Métrologie) GUM (Guide to the expression of Uncertainty in Measurement) Pour une éventuelle spécialisation en métrologie il faut étudier de manière approfondie ces deux documents et un cours de spécialiste en statistiques. 1°) Notions générales. On appelle erreurs de mesure les écarts des résultats par rapport à la valeur vraie. Ces écarts sont cependant inconnus et ont un caractère aléatoire : on parle d’incertitude. Cela se manifeste par la dispersion des résultats lorsqu’on répète un grand nombre de fois la mesure d’une même grandeur. Exemple : La mesure d’une même intensité a été réalisée avec 22 multimètres identiques.Les normes internationales classent les incertitudes en deux catégories nommées A et B.

Incertitudes de type A: on a réalisé plusieurs mesures de la même grandeur qui permettent un traitement statistique (calcul de moyenne et d’écart-type). Incertitudes de type B : on dispose d’une seule mesure et l’on évalue un écart-type à partir des données du constructeur de l’appareil de mesure et d’hypothèses sur la qualité de la lecture réalisée sur l’appareil. Calculs : on calculera pour la mesure (ou pour les mesures) – l’incertitude-type notée u ; c’est un écart-type, associé à un niveau de confiance loin de 100%. – l’incertitude élargie U = k u ; souvent k = 2 est associé au niveau de confiance 95%. – on conserve au maximum 2 chiffres significatifs pour U. Remarques : en l’absence d’indication on considère que le niveau de confiance est 95% « u » provient de « uncertainty » en anglais.On dispose d’une seule mesure  étude statistique impossible. On détermine une incertitude-type u résultant généralement de la composition des incertitudes-type suivantes : ulecture = incertitude-type due à la lecture sur l’instrument uconstruct = incertitude-type liée au caractéristiques l’appareil, donnée par le constructeur. uautre = autres incertitudes-types éventuellement disponibles. Calcul de u à partir de : (propriété des variances) On peut ensuite calculer l’incertitude élargie : U = k0,95 u = 2.u au niveau de confiance 95%. Les incertitude-type ulecture et uconstruct , qui sont toujours des écart-types, sont calculées en formulant une hypothèse sur la loi de distribution associée à la mesure. La lecture sur l’instrument ou les données du constructeur permet de donner un intervalle selon :La mesure de la longueur L d’une petite tige métallique avec un réglet gradué au mm donne : L = 12,2 cm. On considèrera que la seule incertitude significative est celle due à la lecture, est qu’elle s’applique deux fois : une pour la graduation zéro et une pour la graduation lue. On supposera une loi de distribution de probabilité triangulaire symétrique pour calculer l’incertitude-type uL, puis l’incertitude élargie UL.