Mesure de champs à l’échelle micrométrique pour
l’identification d’effets mécaniques surfaciques

Justesse et reproductibilité de la mesure de déplacement hors plan 

Justesse de la mesure 

La justesse de la mesure de déplacement hors-plan dépend de la justesse de la mesure de phase (partie 3.2) d’une part, et de la justesse des coefficients 4πn ιλ et ∂φW ∂γ d’autre part. L’indice du milieu, consideré comme homog éne, peut étre mesure par ailleurs, à` l’aide d’un refractom être. L’annexe ` D presente les valeurs obtenues avec les solutions ´ utilisees dans ce travail, pour une longueur d’onde de 633 nm, à une temp érature de ´ 25◦C. La justesse du coefficient ∂φW ∂γ depend directement du nombre de points pris pour ´ Mesure de champs de deplacements hors-plan ´ 49 l’etalonnage. Finalement, la mesure de d éplacement hors-plan dépend également de la ´ mesure du decalage introduit par le prisme de Wollaston, si celui-ci est inférieur à la dimension de l’objet. Cette sensibilite dépend alors du rapport entre le décalage introduit et ´ les longueurs caracteristiques des fonctions  zs(x) utilisées pour d écrire la topographie. ´

Projection des champs de déplacements sur une base de champs cinématiquement admissibles

 Une infinité de choix est possible pour la base des fonctions ​ zs(x), et celui-ci sera guidé par les applications visées. Si l’on souhaite utiliser les champs de déplacements ​ obtenus pour traiter du comportement mécanique de structures (poutres, plaques) alors on ​ pourra choisir une base de type el éments finis (fonctions polynomiales par morceaux). On pourrait, en d’autres circonstances, utiliser des fonctions de Fourier, des ondelettes, des fonctions de Bessel, etc. 

Reproductibilité de la mesure de d éplacement 

En pratique, la mesure de déplacement se fait en cherchant la projection sur la base ´ des fonctions Φs , déduite de la base des fonctions ´ zs . Quelle que soit la base choisie, le probleme consiste ` a trouver les param étres ` νs minimisant ηs = ∑ µ ∆Φ(x)−∑s νsΦs(x) ¶2 (1.107) ou` ∆Φ(x), definie au paragraphe ´ 4.1, represente la diff érence de phase mesur ée. On a ´ montre au paragraphe ´ 3.1 que ∆Φ(x) est soumis a un bruit de moyenne nulle, d écorr élé´ spatialement et d’ecart-type contr ´ olˆ e par le temps d’acquisition. On suppose donc qu’ à` chaque pixel x, ∆Φ(x) est vu avec un bruit gaussien b(x), additif, de moyenne nulle, et de variance σ 2 . L’indicateur defini par ( ´ 1.107) se re´ecrit ´ ηs = (Pν−p) t (Pν−p) (1.108) ou chaque colonne de ` P represente une fonction ´ Φs(x), et ν est la projection recherchee. àussi, les conditions de stationnarite de ´ ηs s’ecrivent ´ P tPν = P tp (1.109) Si ∆Φ(x) est soumis a un bruit de mesure, alors on peut formellement l’ écrire ´ p = p0 +b (1.110) p0 est alors la difference de phase id éale, en l’absence de bruit. La partition correspon- ´ dante sur les projections s’ecrit ´ νm = ν0 +δν (1.111) 50 La mesure de champs de deplacements à l’ échelle microm étrique àvec Pν0 = p0 (1.112) L’equation de projection ( ´ 1.109) se reduit alors à` P tPδν = P tb (1.113) et la valeur minimale ηs,min de l’indicateur ηs est donnee par ´ ηs,min = b tb−δνtH δν (1.114) ou on a pos é´ H = P tP (1.115) En utilisant alors une description statistique de b, on derive une description de ´ δν et de ηs,min. On a E[ηmin] = E[b tb]−E[δνtH δν] (1.116) oué[¦] est l’esperance de la variable al éatoire ´ ¦. Si Np est le nombre de points de mesure, alors E[b tb] = Npσ 2 puisque le bruit affectant la mesure est decorr élé en espace. En ´ injectant (1.113), E[δνtH δν] = E[X tH −1X] (1.117) avec X = P tb. Avec cette definition, on a ´ Xi = x=Np ∑ x=1 Φi(x)b(x) = x=Np ∑ x=1 xi(x) = hΦi ,bi (1.118) Comme b(x) est decorr élé, la covariance est obtenue en fonction des fonctions de forme ´ Φs E[XiXj ] = ∑ x=Np x=1 E[xi(x)x j(x)] = ∑ x=Np x=1 R ∞ −∞ Φi(x)Φj(x) x 2 σ √ 2π exp³ − x 2 2σ2 ´ dx = σ 2 hΦi ,Φji = σ 2Ξi j (1.119) Si on appelle Nddl le nombre de parametres ` νs a identifier, on en d éduit é[ηs,min] = σ 2 ¡ Np −H −1 : H ¢ = σ 2 (Np −Nddl) (1.120) Par consequent, la valeur de l’indicateur apr és minimisation est une mesure du niveau de ` bruit affectant les mesures, si la base de fonctions retenue est satisfaisante pour decrire le ´ champ de déplacement à mesurer.

Mesure d’un champ de déplacement plan 

 Mesure de déplacement plan 

Le niveau de reproductibilité atteint avec les interférences proposées permet de discerner sans difficulté la rugosité de surfaces comme celle de films d’or «  évaporées-condens  ». ​ Cette rugosité est alors un marqueur de la surface. Mesurer le d éplacement de zones choi- ´ sies doit donc permettre de mesurer le deplacement dans son plan de l’objet. C’est le ´ principe de la velocim étrie de particules pour la mesure de champs de d éplacements én mecanique des fluides [ ´ 40], qui a eté appliqu éà la m écanique des solides au d ébut ´ des annees 1980 [ ´ 41]. La technique etait alors utilis ée sur des images obtenues par in- ´ terferom étrie de speckle, la figure de speckle, due à la rugosit é de la surface observ ée, étant alors le marqueur li éà la surface. La technique a alors été successivement am élior ée´ [42], afin de pouvoir etre utilis ˆ ee avec une grande vari été de marqueurs, naturels ( ´ i.e., la texture naturelle de la surface observée) ou artificiels (par exemple un mouchetis de peinture deposé à la surface de l’objet). Si on note ce marqueur bidimensionnel ` f(x) avant déformation et ´ g(x) après déformation, on cherche le champ ´ u(x) tel que g(x) = f(x+u(x)) (1.121) Le champ u cherche est alors la solution du probléme de minimisation de la fonctionnelle ϑ(u(x)) = Z Ω (g(x)− f(x+u(x)))2 dx (1.122) Si u(x) est petit devant la longueur de variation caracteristique du marqueur ´ f , alors on peut ecrire un développement limitéà l’ordre 1 : ` ϑ(u(x)) = Z Ω (g(x)− f(x)−u(x)∇ f(x))2 dx (1.123) Si l’on suppose u constant sur le domaine Ω, alors la stationnarite de ´ 1.122 peut se re´ecrire comme la maximisation de ´ Z Ω g(x−v)f(x)dx (1.124) L’équation ( ´ 1.124) peut alors etre r ˆ esolue tr és rapidement dans l’espace de Fourier, puisque ` (1.124) est le produit d’inter correlation ´ hf,gi(v) = Z f(x)g(x−v)dx = Z f(x)f(x+u−v)dx = hf, fi(v−u) (1.125)  Comme hf, fi(v) est par construction maximum en v = 0, le profil d’inter corrélation  présente un maximum en ´ v = u. C’est cette propriété que l’on exploite pour retrouver ´ u a partir de la mesure de ` f et g. La description du champ a mesurer a également été étendue et enrichie : si les premiers algorithmes permettaient de mesurer des champs de ´ déplacements continus par morceaux, des développements récents proposent d’enrichir ´ la description du champ a mesurer : le champ de déplacement plan peut être recherché  sur une base de Fourier , ou sur une base adaptée aux phénomènes observés. Par exemple, pour déterminer la ténacité d’un matériau fragile, on peut mesurer l’ouverture  de la fissure, ou chercher le champ de déplacement en pointe de fissure sur une base de fonctions construite autour des champs solution du problème d’une fissure en traction ` dans un massif infini . Quand la qualité des images utilisées est faible (par exemple extraites d’une vidéo) une dé finition multi- échelle des champs est utilisé . Quelle que soit la base choisie, l’équation  montre que la mesure de u n’est possible que si ∇f 6= 0. D’une manière générale, ce sont les propriétés du marqueur  f qui vont déterminer  la qualité de la mesure du déplacement  ». En particulier, ∇ f(x) apparaît comme le vecteur sensibilité de la méthode.

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