Lamiae
Sommaire: Étude théorique et expérimentale de la propagation acoustique dans les cristaux phononiques granulaires tridimensionnels
Introduction générale
Bibliographie
1 L’acoustique des cristaux phononiques granulaires
1.1 Introduction
1.2 Théorie du contact de Hertz-Mindlin
1.3 Modes normaux de propagation dans une chaine un dimensionnelle masses-ressorts
1.3.1 Modes normaux d’un réseau monoatomique unidimensionnel
1.3.2 Modes normaux d’un réseau unidimensionnel à motif
1.4 La structure hexagonale compacte
1.5 Propagation acoustique dans les granulaires
1.5.1 Désordre
1.5.2 Modes supérieurs
1.5.3 Non-linéarités
1.5.4 Matériau granulaire comme milieu effectif
1.5.5 Théorie de Cosserat et les milieux granulaires
1.6 Conclusion
Bibliographie
2 Elastic waves in noncohesive frictionless granular crystals
2.1 Introduction
2.2 Bulk mode dispersion relations
2.3 Eigenmodes along z direction
2.4 Theoretical estimations for experiments
2.5 Experimental results
2.6 Influence of disorder
2.7 Discussion
Bibliographie
3 Dispersion of elastic waves in three-dimensional noncohesive granular phononic crystals: properties of rotational modes
3.1 Introduction
3.2 Bulk mode dispersion relations
3.2.1 Hexagonal close-packed structure
3.2.2 Equations of motion for translation and rotation
3.2.3 Hertz-Mindlin theory
3.2.4 Projection of forces and torques
3.2.5 Bloch theorem
3.2.6 Evaluation of the dynamical matrix and its eigenvalues
3.3 Study of the eigenmodes propagating along z direction
3.3.1 Dispersion relations when rotation is not included
3.3.2 Dispersion relations when rotation is included
3.3.3 Influence of the moment of inertia
3.3.4 Anisotropic loading on the crystal
3.3.5 Group velocities
3.3.6 Study of the frequency band gap between the modes LO and RT
3.4 Conclusion
Bibliographie
4 Observation of rotational waves in granular crystal : experimental validation of the Cosserat continuum theory
4.1 Introduction
4.2 Experimental setup and theoretical predictions
4.3 Experimental results
4.4 conclusion
Bibliographie
5 Non-linéarités et inhomogénéités
5.1 Introduction
5.2 Le dispositif expérimental
5.3 Amplitude de l’onde démodulée en fonction de la fréquence de l’onde de pompage
5.4 Amplitude de l’onde démodulée en fonction de l’amplitude des ondes de pompage
5.5 Autres non-linéarités et perspectives
5.6 Conclusion
Bibliographie
Conclusion générale
Annexe A
A.1 Introduction
A.2 Model
A.2.1 Shear rigidity of the contacts
A.2.2 Bending rigidity of the contacts
A.2.3 Normal contact with a rigid surface
A.2.4 Conclusions
Bibliographie
♣ Extrait du mémoire
Chapitre 1: L’acoustique des cristaux phononiques granulaires
1.1 Introduction
La famille des milieux granulaires désigne un ensemble d’éléments très différents de matériaux.
Du sable à la neige en passant par les sédiments marins ou encore des poudres pharmaceutiques aux assemblages de nanosphères, les milieux granulaires interviennent dans de nombreux domaines, de la géophysique à la physique des nanomatériaux [1.1–1.3]. Malgré la diversité de formes, les différents matériaux montrent des propriétés physiques similaires. L’objet de ce premier chapitre est un rappel des notions utiles à la compréhension des résultats exposés par la suite. Un point cependant nécéssite d’être éclairci immédiatement. Les matériaux granulaires sont des matériaux biphasiques, avec une phase solide composée par les grains et une phase fluide représentant le fluide saturant les pores entre les grains. Pour l’étude de la propagation d’onde dans un assemblage de grains, les couplages avec le fluide environnant sont souvent négligés, considérant que la différence d’impédance acoustique et les différences de masses entre les deux milieux sont suffisament importantes. Le présent mémoire est consacré uniquement aux ondes se propageant dans la phase solide (dans les billes). Cette étape est nécéssaire à la prise en compte des couplage fluide-structure, notamment dans le cadre de la théorie de Biot par exemple [1.4].
En premier lieu, le comportement macroscopique d’un assemblage granulaire dépend de l’intéraction mécanique au niveau microscopique entre les grains. La modélisation de cette interaction par la théorie de Hertz-Mindlin, présentée dans la première section, est une base essentielle de la physique des matériaux granulaires. Ensuite, les propriétés physiques liées à la structure régulière et périodique d’un cristal granulaire sont décrites dans les cas simples d’une chaine monoatomique unidimensionnelle puis d’une chaine diatomique unidimensionnelle. L’étude de ces cas simplifiés permet de comprendre le raisonnement utilisé pour modéliser la propagation des ondes dans un cristal granulaire tridimensionnel. La structure cristalline considérée dans ce document, la structure hexagonale compacte, est présentée avec ses propriétés de symétrie utiles à la modélisation. Bien que l’arrangement granulaire soit géométriquement régulier, un désordre élastique peut apparaitre au niveau microscopique des contacts. Ceci joue un role important dans l’acoustique des cristaux granulaires, et les origines et les implications de ce désordre sont abordés. La fin du chapitre porte sur une revue non exhaustive de travaux effectués sur les assemblages granulaires permettant de situer le contexte de cette étude.
1.2 Théorie du contact de Hertz-Mindlin
La première description consistente du contact entre deux sphères vient de Hertz [1.5] en 1881 qui étudiait les franges d’interférences optiques de Newton entre deux lentilles de verres en contact.
Il s’est interéssé plus particulièrement à une possible déformation élastique au niveau du contact de deux sphères soumises à une contrainte dirigée suivant l’axe formé par les deux centres des deux sphères. Il mit en évidence la relation entre la déformation au niveau du contact et la contrainte appliquée. Ces résultats ont été validés expérimentalement [1.6] et sont toujours utilisés aujourd’hui pour décrire la relation force-déplacement normale. Cette théorie a ensuite été étendue avec la relation force-déplacement dans les directions parallèles au contact par Mindlin [1.7–1.11].
La théorie comporte les hypothèses suivantes. La surface de contact est plane, ce qui permet de découpler les relations force-déplacement normales des relations tangentielles, et de forme elliptique dans le cas général (elle est de forme circulaire si deux sphères sont en contact). Les dimensions de la surface de contact sont petites devant les dimensions des sphères, ce qui permet de considérer que les contraintes et les déformations sont localisées au niveau des contacts et ainsi découplées des contraintes à l’interieur du volume des sphères. La théorie donne la composante normale du champ de contraintes, elle est maximum au centre du contact et s’annule à la périphérie.
Suivant le problème schématisé sur la figure 1.1, le rayon r de la surface de contact entre deux sphères identiques s’écrit [1.9]
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