Mécanique quantique d’une particule relativiste sur une surface 

Mécanique quantique d’une particule relativiste sur une surface 

Introduction 

Dans ce chapitre, nous allons décrire la dynamique d’une particule relativiste connée sur une surface, par l’action d’un potentiel de convoiement. L’idée est d’écrire correctement l’équation de Dirac dans un espace courbe 4-dimensionnel en utilisant le formalisme des tétrades ou vierbein. On commence donc par écrire une métrique de l’espace-temps, puis on choisit des tétrades correspondantes. Ces tétrades vont nous aider ‡ déterminer les connexions a¢ nes spinorielles et on écrit ensuite l’équation de Dirac. Pour décrire une particule relativiste sur une surface, on va introduire un potentiel de convoiement sous forme d’un couple minimal. En e§et, on va choisir le 4-potentiel (A0  V; A = 0) , cette idée , qui a été utilisée dans la référence [2], est justiÖée du fait que le potentiel de conÖnement a des caractéristiques semblables ‡ un puits inÖni. L’équation de Dirac ainsi obtenue va nous permettre d’écrire un systËme d’équations couplées dont le problËme majeur et l’expression du potentiel de conÖnement lui-m’me. On se limite ici ‡ un exemple simple déj‡ vu dans le chapitre précédent juste pour expliquer la démarche de la méthode.

Equation de Dirac dans un espace-temps courbe

 M’me dans un espace plat euclidien, il pourrait ‘tre utile d’utiliser des coordonnées curvilignes ; par exemple, dans les problèmes ‡ symétrie sphérique ‡ 3d, nous obtenons une simpliÖcation importante lorsque l’élément ds2 = dx2 + dy2 + dz2 est remplacé par ds2 = dr2 + r 2d2+r 2 sin2 d’2 . Dans un espace courbe, nous n’avons pas d’autre choix, car les coordonnées cartésiennes ne peuvent exister que localement, c’est-‡-dire dans un voisinage inÖnitésimal. Un exemple est la surface d’une sphère de rayon R. Les coordonnées sphériques avec r Öxé égal au rayon R de la sphère font le travail. Dans ce dernier cas, nous avons a§aire ‡ un sous-espace courbe ‡ 2d intégré dans un espace euclidien ‡ 3d. Les coordonnées courbes sont intrinsËques ‡ la surface, et on peut ignorer l’existence d’une dimension radiale. Dans cette section, nous verrons comment écrire l’équation de Dirac dans un espace courbe. En réalité, ce que nous voulons écrire, c’est l’équation de Dirac covariante pour une métrique arbitraire. Puisque cette équation est écrite pour une métrique arbitraire, nous pouvons également l’utiliser pour écrire l’équation de Dirac pour un espace plat dans n’importe quel systËme de coordonnées. CommenÁons par écrire l’équation de Dirac dans un espace-temps plat [6] pour une particule de masse m et de spin 1=2 en coordonnées cartésienne x a = 0; 1; 2; 3 de la faÁon suivante (i~ a @a