Mécanique des structures résistance des matériaux

Théorie des poutres

L’objectif de ce premier chapitre est de mettre en place et définir toutes les notions de base en mécanique des milieux continus permettant d’aborder les chapitres suivants traitant de la mécanique des structures, plus communément appelée Résistance des Matériaux.

PRINCIPES DE BASE EN RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

La notion de contrainte Si un solide est en équilibre sous l’action d’un ensemble de forces, de couples et de liaisons, ce dernier se déformera. La contrainte est l’objet mathématique permettant de quantifier les tensions internes à la matière. Pour définir la notion de contrainte, il suffit de procéder par la méthode des coupures virtuelles du solide étudié. En un point M, isolons une partie du 2 1• Théorie des poutres → n . solide, défini par un plan de coupure orienté par le vecteur normal sortant au solide − −→ F −→ C Figure 1.1 −→ T (M,−→ n) M −→ n

En chaque point M de la surface de coupure, il faut remplacer la par tie du solide manquant par une densité surfacique d’effort sur la coupure représentant l’action de ce dernier sur le solide isolé. Cette densité d’effort, définie localement en un point M et orientée par une normale sortante − est appelée le vecteur contrainte − → → n T (M,−→ n). Le vecteur contrainte dépend linéairement du vecteur unitaire − → n . Il existe donc localement un opérateur linéaire reliant le vecteur contrainte sur un plan à sa normale, c’est le tenseur des contraintes s, symétrique du second ordre. Il vient ainsi, −→ T (M,−→ n) = s(M).−→ n

La matrice du tenseur des contraintes, relative à la base (− prend la forme suivante : s = → ⎡ ⎣ sxx sxy sxz syx syy syz szx szy szz → e x,−→ e y,−→ ⎤ ⎦ e z) Il est usuel de représenter graphiquement le tenseur des contraintes dans le plan de Mohr, permettant de séparer les contraintes normales des contraintes de cisaillement. Si on désigne par t la contrainte de cisaillement (portée par un vecteur − t )etsn la contrainte normale, on peut décomposer le vecteur contrainte en deux contributions : −→ T (M,−→ n) = sn −→ n + t−→ t 1.1 Principes de base en résistance des matériaux 3 Il existe un repère particulier dans lequel le tenseur des contraintes est dia gonal, c’est le repère principal des contraintes.

En notant s1, s2 et s3 les 3 contraintes principales, avec s1 < s2 < s3, le domaine d’admissibilité du vecteur contrainte est défini par les 3 inéquations suivantes, définissant un ensemble de cercles. t2 +(sn −s2)(sn −s3) ⩾ 0 t2 +(sn −s1)(sn −s3) ⩽ 0 t2 +(sn −s1)(sn −s2) ⩾ 0 Dans le plan de Mohr, l’admissibilité de la contrainte est visualisée par la zone grisée ci-après. t s1 ©Dunod–Laphotocopie non autorisée est un délit s2 s3 Figure 1.2 sn Pour un état plan de contrainte, si on désigne par u, l’angle entre le repère principal des contraintes et le repère dans lequel la matrice du tenseur des contraintes est exprimée, la relation entre les contraintes principales et les différents termes du tenseur des contraintes est sxx = s1 +s2 2 syy = s1 +s2 2 + s2 −s1 2 − s2−s1 2 sxy = s2 −s1 . cos(2u) . cos(2u) . sin(2u) 2 4 1•Théoriedespoutres t sn s1 s2 sxy −sxy sxx syy 2u

Figure1.3 1.1.2 La déformation La déformation est la variation relative de longueur d’un solide lorsque ce dernier est soumis à une action extérieure. Le tenseur des déformations, sous l’hypothèse des Petites Perturbations est la partie symétrique du gradient du champ de déplacement −→ U(ux,uy,uz)