Mécanique des structures

Principe de la méthode des Coupures

Système isostatique de référence

En déterminant le degré d’hyperstaticité d’une structure, nous sommes à même de préciser le nombre de coupures 2 à pratiquer pour la ramener à l’isostaticité. Il importera, pour la suite du calcul, de choisir une structure isostatique de référence S0 qui servira de base à l’étude. Remarquons toutefois qu’il existe autant de structures isostatiques de référence que l’on veut car on peut pratiquer les coupures simples arbitrairement. Il est vital toutefois de ne pas transformer le système structural en mécanisme! Onverra par la suite que le choix d’un système isostatique de référence plutot qu’un autre peut avoir une répercussion sur la simplicité des calculs à effectuer. Nous tˆacherons de préciser quelques règles générales permettant de choisir au mieux le système statiquement déterminé de référence. 2Le terme coupure est pris au sens large : il s’agit chaque fois d’une suppression d’un effort interne ou d’un effort de liaison.

Inconnues hyperstatiques

Chaque fois que nous pratiquons une coupure dans le système hyperstatique de départ, nous supprimons l’effort interne ou de liaison Xj correspondant. Ainsi, l’introduction d’une rotule conduit à la suppression du moment fléchissant tandis que la suppression d’un appuimobile conduit à l’annulation d’uneréaction perpendiculaire au chemin de roulement. La méthode des forces a précisément comme but de déterminer ces n forces inconnues (si n désigne le degré d’hyperstaticité). Les inconnues hyperstatiques Xj sont généralement représentées sous une forme extériorisée sur la structure isostatique de référence. Exemple: Les coupures pratiquées pour obtenir le système isostatique de référence pouvant être tant internes qu’externes au système, il doit être bien entendu, dans tout ce chapitre, que les mots force et déplacement sont pris au sens généralisé. Le symbole Xj peut donc correspondre à une force ordinaire, une paire de forces égales et opposées, un moment ou une paire de moments égaux et opposés tandis que le déplacement associé correspond à la force ci-dessus c.`a.d., selon le cas, un déplacement projeté, un déplacement relatif projeté, une rotation projetée sur l’axe du couple ou,enfin, une rotation relative projetée sur l’axe commun des deux couples.

Equations générales de laméthode des forces

Considérons une structure hyperstatique de degré n (Sn) et la structure isostatique de référence (S0) qui lui est associée. Soient Xj(j = 1,…,n) les n inconnues hyperstatiques. Imaginons quelastructure isostatique deréférence S0 soit soumise à l’action des forces extérieures (ΣP) et des forces Xj momentanément inconnues (j = 1,…,n). La réponse structurale de ce système s’obtient, en vertu du principe de superposition, en évaluant séparément les réponses élémentaires du système S0 soumis successivement aux charges extérieures (ΣP)et aux efforts Xj puis en sommant celles-ci. (Fig 2.16). Si nous nous interresons au déplacement relatif des 2 lèvres d’une coupure arbitraire i, nous constatons qu’il se compose, en vertu du principe de superposition, des déplacements produits par chaque force Xj du déplacement produit par les forces extrieures ΣP. Si on désigne par : – δ0 ij le déplacement relatif (dans S0) des lèvres de la coupure I (dans la direction i) d à une force unité agissant dans la coupure j (dans la direction j) – δ0 iΣP le déplacement relatif (dans S0) des lèvres de la coupure I (dans la direction i) produit par les forces extérieures ΣP