Mécanique des milieux continus en grandes déformations

Cinématique

Description du mouvement On considère un corps B qui occupe initialement une région Ω0 de l’espace euclidien R3 , de frontière régulière notée ∂Ω0. Les sollicitations appliquées à B s’accompagnent d’un changement de configuration depuis celle de référence, vers la configuration courante notée Ωt . On supposera ici que la configuration de référence coïncide avec la configuration initiale Ω0. Au cours de cette évolution, un point matériel P appartenant à B passe de la position X, repérée par ses coordonnées cartésiennes XI dans le repère EI , I = 1, 2, 3 à une position x repérée par ses coordonnées cartésiennes xi dans le repère ei , i = 1, 2, 3.

Il est souvent commode d’identifier ei et EI , c’est-à-dire de travailler dans le même système de coordonnées [Brunet(2011)]. En notant Φ l’application de la configuration de référence sur la configuration courante au temps t, on peut écrire : x = Φ (X, t), X ∈ Ω0 (2.1) FIGURE 2.1 – Description du mouvement On introduit le vecteur de déplacement u qui est le vecteur qui s’étend entre un point matériel de la configuration de référence et ce même point dans la configuration courante : u(t) = Φ (X, t) − X = x − X (2.2) Si le mouvement du corps est décrit en utilisant les coordonnées matérielles XI , I = 1, 2, 3, on dira que la description est matérielle ou Lagrangienne.

Cela revient à observer le mouvement du corps comme une quantité de matière qui se déplace dans l’espace à partir d’une référence connue. Afin de décrire le mouvement du corps il est également possible d’utiliser les coordonnées xi , i = 1, 2, 3, on dira alors que la description est spatiale ou Eulérienne. Cela consiste à observer la quantité de matière qui passe dans un certain domaine fixé de l’espace, 18 sans référence à la position au temps initial. Dans ce qui suit, nous adopterons la convention d’écriture suivante : les lettres capitales seront utilisées pour désigner les composantes des coordonnées Lagrangiennes (se trouvant dans la configuration de référence), et les lettres minuscules, pour désigner les composantes des coordonnées Eulériennes (qui se trouvent donc dans la configuration courante). Notons qu’il est possible de montrer l’équivalence de ces deux types de représentations : connaissant l’une, on peut passer à l’autre et inversement. 

Le gradient de déformation

On dit qu’un milieu continu en mouvement subit des déformations si les distances relatives des points matériels varient au cours du temps. La mise en oeuvre de cette notion est peu commode et on la remplacera plutôt par une notion plus précise à caractère local. On introduit pour cela le tenseur gradient de déformation noté F. Il permet de passer d’un élément infinitésimal dX de la configuration initiale Ω0 à un élément infinitésimal dx de la configuration courante Ωt : dx = FdX (2.3) ce qui équivaut à : F = ∂x ∂X (2.4) En considérant le vecteur des déplacements u (2.2), F peut également s’écrire : F = 1 + H (2.5) avec H le gradient de déplacement : H = ∂u ∂X

Le déterminant de F est appelé le jacobien de la déformation et sera noté J. On peut montrer qu’il permet de calculer le volume d’un domaine matériel après déformation par [Wriggers(2008)] : dv = JdV (2.6) avec dv et dV l’élément de volume sur la configuration actuelle et initiale respectivement. Ainsi J mesure le changement de volume. Le volume étant toujours une quantité positive finie, cela implique que l’on doit forcément avoir J ∈ ]0; ∞[ Connaissant le gradient de déformation, il est également possible d’exprimer la transformation d’un élément de surface entre la configuration de référence et la configuration actuelle.

Pour cela, on considère un élément de surface dΓ défini dans la configuration actuelle Ωt qui s’écrit : 19 dΓ = ndS avec dS l’aire de la surface et n la normale à la surface. On considère également un élément de surface dΓ0 défini dans la configuration initiale Ω0. En notant dS0 l’aire de la surface et N la normale à la surface, on peut écrire : ndS = JF −TNdS0 (2.7) Décomposition du gradient de déformation en partie isochore/volumétrique Une déformation est dite isochore si elle ne produit pas de changement de volume. Une déformation localement isochore est caractérisée par : J = 1 (2.8) Une déformation est dite volumétrique si elle consiste en une contraction/dilatation uniforme dans toutes les directions. Le gradient de déformation de toute déformation volumétrique est un tenseur sphérique de la forme : F = αI (2.9) où α est le facteur d’homothétie. Toute déformation peut se décomposer localement en une partie purement volumétrique et une partie isochore. Le gradient de déformation peut être décomposé multiplicativement : F = F iso FV = FV F iso (2.10) où la partie isochore F iso est telle que : F iso =