MATHEMATIQUES FINANCIERES II
Les emprunts remboursables en une seule fois
Selon cette formule, l’emprunteur peut verser uniquement les intérêts à la fin de chaque période et payer la totalité et la somme empruntée à la fin de la dernière période. De même, il peut ne rien payer pendant toute la durée de l’emprunt et verser la totalité des intérêts et le montant de la somme empruntée à la fin de la durée de l’emprunt. Ce système présente l’inconvénient d’obliger l’emprunteur à verser une somme très importante à la fin des n périodes. Généralement, l’emprunteur est amené à effectuer le placement à la fin de chaque période, dans une banque ou une société de capitalisation, d’annuités constantes (ou variables) à un taux t presque toujours différent du taux d’emprunt i
1° Exemple :
Soit un emprunt de 1000 000 dh, remboursable en une seule fois au bout de 5 ans taux 12 %
Hypothèse 1 : l’emprunteur paie les intérêts au taux de 12 % à la fin de chaque année.
1 2 3 4 5 périodes
0 a 1 = Voi a2= Voi a3= Voi a4= Voi a5=Vo+ Vo x i
120000 120 000 120000 120 000 100000 +120000
Hypothèse 2
même modalités de paiement que dans l’hypothèse 1, mais l’emprunteur prend la précaution de déposer, à la fin de chaque année, en banque, une somme S telle que, compte tenu d’une capitalisation au taux de 12 %, il puisse rembourser le capital emprunté. Déterminer S
Remboursement
1 2 3 4 5 Période
0 a1= Voi a2=Voi a3=Voi a4=Voi Voi+Voi
(100 000 x 0,12) 120 000 120 000 120 000 100 000+120 000
120.000 1 120 000
Placements
1 2 3 4 5
0 S S S S S
VO = S (1 + i)n – 1
i
1000 000 = S (1,12)5 – 1
0,12
1000 000 = S X 6,352847
S = 157409,73 dh
La capitalisation des sommes S constantes doit procurer la somme empruntée.
Hypothèse 3
même question si le taux de rémunération des dépôts est de 13,75 %, c’est -à-dire supérieur au taux d’intérêt à payer.
Placements
V0 = S (1 + i)n – 1
i
1000 000 = S (1,1375)5 – 1 S = 152 035,34 dh
0,1375
Hypothèse 4 :
L’emprunteur ne paie la totalité des intérêts qu’en fin de contrat et n’effectue qu’un seul versement à la fin de la 5ème année.
Il place néanmoins, à la fin de chaque année, une somme S au taux de 12 %. Déterminer S permettant de faire face à ce remboursement unique.
Remboursements
0 1 2 3 4 5
n
a1=0 a2=0 a3=0 a4=0 a5=Vo(1+i) 5
a5=100 000 x (1,12)
a5=1762341,68dh
Placements
V0 ( 1 + i )n = S (1 + i)n – 1
i
S = V0 (1 + i)n i_______
(1 + i) – 1
S = 1762341,68 0,12
(1,12)5 – 1
S = 277409,73 dh
Hypothèse 5
même question que dans l’hypothèse 4, si le taux de placement est de 13,75 %
Vo (1 + i) = S (1 + i)n – 1
i
1762341,68 = S (1,1375)5 – 1
0,1375
S = 267938,22 dh
Application 1 :
Dresser le tableau d’amortissement d’un emprunt ordinaire de 420 000 dh souscrit le 20-06-97 et remboursable par 6 amortissements annuels constants. Le taux d’intérêt est de 11 % le premier remboursement aura eu lieu le 19/06/98 .
Solution :
D1 = D2 = D3 = …………………..D6 = 420 000 = 70 000 6
Périodes | capital en début de période | Intérêt de la période | Amortissement | Annuité | Capital en fin de période |
19-06-98 19-06-99 19-06-2000 19-06-2001 19-06-2002 19-06-2003 |
420 000 350 000 280 000 210 000 140 000 70 000 |
46 200 38 500 30 800 23 100 15 400 7 700 |
70 000 70 000 70 000 70 000 70 000 70 000 |
116 200 108 500 100 800 93 100 85 400 77 700 |
350 000 280 000 210 000 140 000 70 000 0 |
161 700 | 420 000 | 581 700 |
Application 2 :
Le fonctionnaire a emprunté 120 000 DH au CIH, remboursables en 120 mensualités au taux annuel de 15 %. Cet emprunt a été souscrit le 28/09/97 avec effet au 01-10-97. Le premier remboursement commencera fin octobre 97.
1° calculer le montant de la mensualité constante
2° Décomposer la 1ère mensualité en intérêt et en amortissement.
3° Après 60 mois de remboursement, le fonctionnaire, qui espère bénéficier d’un rappel, souhaiterait rembourser la somme restant dûe en un seul versement, le contrat lui permettant de le faire. Quelle somme totale devra-t-il verser après avoir payé le 60° mensualité.
4° Ayant constaté que la somme restant due est encore importante, le fonctionnaire continue à acquitter ses mensualités pendant une année. Déterminer combien il lui restera à payer après cette année supplémentaire de remboursement en présentant le tableau