Mathématiques financières

MATHEMATIQUES FINANCIERES II

Les emprunts remboursables en une seule fois

Selon cette formule, l’emprunteur peut verser uniquement les intérêts à la fin de chaque période et payer la totalité et la somme empruntée à la fin de la dernière période. De même, il peut ne rien payer pendant toute la durée de l’emprunt et verser la totalité des intérêts et le montant de la somme empruntée à la fin de la durée de l’emprunt. Ce système présente l’inconvénient d’obliger l’emprunteur à verser une somme très importante à la fin des n périodes. Généralement, l’emprunteur est amené à effectuer le placement à la fin de chaque période, dans une banque ou une société de capitalisation, d’annuités constantes (ou variables) à un taux t presque toujours différent du taux d’emprunt i
1° Exemple :
Soit un emprunt de 1000 000 dh, remboursable en une seule fois au bout de 5 ans taux 12 %
Hypothèse 1 : l’emprunteur paie les intérêts au taux de 12 % à la fin de chaque année.
1                   2                   3                      4                      5                 périodes

0           a 1 = Voi      a2= Voi           a3= Voi           a4=  Voi            a5=Vo+ Vo x i

120000         120 000               120000                     120 000              100000 +120000

Hypothèse 2 

même modalités de paiement que dans l’hypothèse 1, mais l’emprunteur  prend la précaution de déposer, à la fin de chaque année, en banque, une somme S telle que, compte tenu d’une capitalisation au taux de 12 %, il puisse rembourser le capital emprunté. Déterminer S
Remboursement
1                       2                         3                        4                           5   Période
0                       a1= Voi             a2=Voi               a3=Voi              a4=Voi                 Voi+Voi
                         (100 000 x 0,12)            120 000                     120 000                 120 000                 100 000+120 000
120.000                                                                                                             1 120 000
Placements
                            1                      2                    3                    4                         5

0                          S                     S                    S                     S                        S
V_O   = S (1 + i)ⁿ  – 1
i
1000 000 = S (1,12)⁵   – 1
0,12
1000 000 = S X 6,352847
S = 157409,73 dh
 
La capitalisation des sommes S constantes doit procurer la somme empruntée.

Hypothèse 3

même question si le taux de rémunération des dépôts est de 13,75 %, c’est -à-dire supérieur au taux d’intérêt à payer.
Placements
            V₀  = S  (1 + i)ⁿ  – 1
i
1000 000  =  S  (1,1375)⁵  – 1                                    S = 152 035,34 dh
0,1375
Hypothèse 4 :
L’emprunteur ne paie la totalité des intérêts qu’en fin de contrat et n’effectue qu’un seul versement à la fin de la 5^ème année.
Il place néanmoins, à la fin de chaque année, une somme S au taux de 12 %. Déterminer S permettant de faire face à ce remboursement unique.
Remboursements
0                   1                   2                    3                       4                         5
n
a1=0               a2=0              a3=0                  a4=0            a5=Vo(1+i)          5
                                                                                                             a5=100 000 x (1,12)
a5=1762341,68dh
Placements
V₀ ( 1 + i )ⁿ    = S (1 + i)ⁿ  – 1
i
S = V₀ (1 + i)ⁿ            i_______
(1 + i)  – 1
S = 1762341,68       0,12
(1,12)⁵  – 1
S = 277409,73 dh

Hypothèse 5 

même question que dans l’hypothèse 4, si le taux de placement est de 13,75 %
Vo (1 + i)  =  S (1 + i)ⁿ   – 1
i
1762341,68  = S (1,1375)⁵  – 1
0,1375
S = 267938,22 dh
Application 1 :
Dresser le tableau d’amortissement d’un emprunt ordinaire de 420 000 dh souscrit le 20-06-97 et remboursable par 6 amortissements annuels constants. Le taux d’intérêt est de 11 % le premier remboursement aura eu lieu le 19/06/98 .
Solution :
D₁ = D₂ = D₃ =  …………………..D₆  = 420 000  = 70 000 6

Application 2 :
Le fonctionnaire a emprunté 120 000 DH au CIH, remboursables en 120 mensualités au taux annuel de 15 %. Cet emprunt a été souscrit le 28/09/97 avec effet au 01-10-97. Le premier remboursement commencera fin octobre 97.
1° calculer le montant de la mensualité constante
2° Décomposer la 1^ère mensualité en intérêt et en amortissement.
3° Après 60 mois de remboursement, le fonctionnaire, qui espère bénéficier d’un rappel, souhaiterait rembourser la somme restant dûe en un seul versement, le contrat lui permettant de le faire. Quelle somme totale devra-t-il verser après avoir payé le 60° mensualité.
4° Ayant constaté que la somme restant due est encore importante, le fonctionnaire continue à acquitter ses mensualités pendant une année. Déterminer combien il lui restera à payer après cette année supplémentaire de remboursement en présentant le tableau