Martingales en temps continu

Généralité sur les Processus Stochastiques

Soit (Ω, F,IP) un espace de probabilité, et (Ft)t≥0 une famille croissante de sous-tribu de F. Définition 2.1.1 On dit que (Ft)t≥0 est continu à droite si pour tout t ∈ [0, +∞[ on a Ft+ = Ft o`u Ft+ = T >0 Ft+. Dans la suite nous supposerons le plus souvent que Ft est continu à droite et complète. Définition 2.1.2 (Ft)t≥0 défini ci-dessus est appelé filtration o`u famille de référence. Soient (E, B) un espace mesurable o`u E est un espace polonais (espace métrique, séparable, complet) et B sa tribu borélienne. Définition 2.1.3 On appelle Processus Stochastiques à valeurs dans E toute famille de variables aléatoires X = (Xt)t≥0 à valeurs dans (E, B). Remarque 2.1.4 Un processus peut être considéré comme une fonction aléatoire qui à chaque ω ∈ Ω on associe la fonction de IR+ × Ω → E, t 7→ Xt(ω) appelé trajectoire du processus. Remarque 2.1.5 Un processus peut être vu comme une application de IR+ × Ω → E o`u nous supposerons toujours que cette application est mesurable lorsqu’on munit IR+ × Ω de la tribu B(IR+) ⊗ F et E de la tribu B. 

Notion de Temps d’arrêt

Définition 2.2.1 On appelle temps d’arrêt par rapport à une filtration (Ft)t≥0 une variable aléatoire τ à valeurs dans IR+ ∪ {+∞} telle que, pour tout t ≥ 0 {τ ≤ t} ∈ Ft. On associe à un temps d’arrêt τ une tribu que nous notons Fτ définie par : Fτ = {A ∈ F, ∀t ≥ 0, A ∩ {τ ≤ t} ∈ Ft} 4 Exemple 2.2.2 Soit a > 0 τa(ω) = inf{s ≥ 0 : Xs(ω) = a} si {s ≥ 0 : Xs(ω) = a} 6≡ ∅ τa(ω) = +∞ si {s ≥ 0 : Xs(ω) = a} ≡ ∅ est un temps d’arrêt qui n’est pas borné. σa,n(ω) = τa ∧ n = inf(τa, n), est un temps d’arrêts borné. En général si on suppose que la filtration (Ft)t≥0 est complète et continu à droite ( c’est à dire qu’elle vérifie les conditions habituelles ) on montre que quelque soit le processus optionnel X = (Xt)t≥0 et tout borélien S de IR le temps d’entré TS est un temps d’arrêt. Proposition 2.2.3 Soient σ, τ et σn (n ∈ IN) des temps d’arrêts , alors : 1. σ∧τ = inf(σ, τ ) , σ∨τ = sup(σ, τ ) sont des temps d’arrêts et Fσ∧τ ⊂ Fσ∨τ 2. Si Ft est continu à droite alors lim sup σn et lim inf σn sont des temps d’arrêts et \ n Fσn = Finf n σ.

Notion des Martingales

Définition 2.3.1 soit(Ω, F,(Ft)t≥0,IP) un espace de probabilité filtré. Une famille X = (Xt)t≥0 de variables aléatoires réelles intégrables, (c’est-à-dire vérifiant IE(|Xt|) < +∞ pour tout t)est : -une Martingale (MG) si, pour tout s ≤ t, IE(Xt/Fs) = Xs p.s. -une Surmartingale (SMG) si, pour tout s ≤ t, IE(Xt/Fs) ≤ Xs p.s. -une Sousmartingale ( sMG ) si, pour tout s ≤ t, IE(Xt/Fs) ≥ Xs p.s. Remarque 2.3.2 On déduit de cette définition que si (Xt)t≥0 une martingale, alors : IE(Xt) = IE(X0) ∀t ≥ 0 Théorème 2.3.3 (Théorème du temps d’arrêt) Soit X = (Xt)t≥0un processus dont les trajectoires sont (c.a.d.l.a.g)(continues à droite limite à gauche) τ un temps d’arrêt borné tous deux construits sur le même espace de probabilité filtré (Ω, F,(Ft)t≥0,IP). Supposons que X est Ftadapté et qu’il soit intégrable , c’est à dire que IE(|Xt|) < +∞ . Alors X est une martingale si et seulement si IE(Xτ ) = IE(X0), pour tout temps d’arrêt τ borné c’est-à-dire que pour chaque temps d’arrêt τ considéré il existe une constante b telle que ∀ ω ∈ Ω, 0 ≤ τ (ω) ≤ b