Maîtrise d’erreur et base réduite adaptative

Réduction de modèle

Étant donné un modèle mécanique qui se traduit par une équation d’équilibre à résoudre sur un domaine avec des conditions de Neumann et de Dirichlet, la réduction de modèle consiste dans un sens général à trouver une expression peu coûteuse, éventuellement appro-chée, de la solution de ce problème bien posé sans résoudre directement le système initial d’équations. Cela peut se traduire de différentes manières, dont nous proposons un état de l’art tout en exhibant les applications à l’étude du post-flambement local des structures raidies.

Réduction de modèle par projection

La réduction de modèle par projection est une version discrète de la méthode de Ritz-Galerkin (voir Méthode de Ritz-Galerkin ), appliquée à la méthode des éléments-finis.
La Figure 2.2 montre le principe d’approximation par combinaison linéaire de modes de déformation sur lequel repose la réduction de modèle par projection.
Les modes de déformations constituent une base C d’un sous-espace de RN , où N est la dimension du problème discret initial. La solution du problème est recherchée dans le sous-espace I m(C), comme une combinaison des vecteurs de la base C de dimension Nc très inférieure à N .
Les αi sont les facteurs multiplicateurs des colonnes C i de la base réduite, également appelés coordonnées modales ou inconnues généralisées, qui deviennent les Nc inconnues du problème réduit. Comme pour la méthode de Ritz-Galerkin, le vecteur δq des inconnues virtuelles est également choisi comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base C.
La résolution des systèmes projetés de taille Nc × Nc est a priori beaucoup moins coûteuse que celle des systèmes de taille N × N . D’autant plus que la complexité de l’algorithme de résolution d’un système linéaire n’est pas linéaire (en O(N 3) pour le Pivot de Gauss). Il faut cependant tenir compte de la phase de projection qui diminue le gain en temps de calcul. L’opérateur de raideur projeté est, par ailleurs, plein, ce qui rend la résolution moins efficace qu’avec l’opérateur de raideur par bande initial.
Sur ce principe relativement simple, de nombreuses applications ont été proposées, à la fois en calcul de structure linéaire statique et dynamique [Hurty, 1965 ; Hughes et Skelton, 1981] ou en mécanique des fluides [Rowley, 2005 ; Lieu et al., 2006], et aussi en calcul non-linéaire [Noor et Peters, 1980 ; Volkwein, 2005].
L’approximation de la solution est ainsi obtenue avec une certaine précision qui dépend d’une part du choix de la base réduite et d’autre part des moyens mis en œuvre pour contrôler l’erreur d’approximation. Le niveau de précision ηrom est fixé selon les besoins de l’utilisateur, dans le cadre d’un compromis précision/coût. Dans le cas où l’on désire obtenir la même précision que par résolution du problème complet ηrom = ηN ew .
La mesure d’erreur erom concerne l’erreur du modèle entier. Il se peut que l’utilisateur ne cherche seulement à obtenir qu’une approximation de certaines quantités dites “d’intérêt”. Dans ce cas, une mesure d’erreur ciblée sur des quantités d’intérêt est possible [Florentin et Díez, 2012 ; Hoang et al., 2013]. Cette approche permet, de manière plus fine et plus physique, de définir la qualité d’une base réduite et de décider de la nécessité de mettre en œuvre une procédure pour l’améliorer.

Constitution d’une base réduite

Comme les bases de Ritz en approche semi-analytique, il existe une grande variété de choix de base réduite. Ce choix fait appel à une connaissance préalable qui peut résulter d’une analyse modale, de précédents calculs pour différents paramètres, d’un développement asymptotique, etc. La phase de constitution d’une base réduite est souvent appelée phase hors-ligne (ou offline), par opposition à la phase de résolution des systèmes réduits, dite phase en ligne (ou online). Cette distinction est souvent réalisée parce que la constitution des bases réduites a un coût qui réduit fortement le gain de la réduction de modèle. Pour autant cette phase peut être menée indépendamment, en amont et être rentabilisée par plusieurs phases online.

Les méthodes de constitution de base réduite :

Les principales bases réduites utilisées dans la littérature sont les suivantes :
– Les bases modales tronquées sont classiquement utilisées en réduction de modèle par projection. L’avantage des bases modales tronquées vient du fait que leur calcul est réalisé par des méthodes éprouvées d’analyse modale (problème aux valeurs propres) et qu’elles ont une certaine pertinence mécanique. En effet, par définition, la base mo-dale permet de représenter tous les modes de déformation de la structure et l’ordre de troncature élimine les modes à plus faibles valeurs propres, qui ont un impact moindre sur l’erreur en énergie de la solution. Relier l’ordre de troncature à l’erreur d’approxi-mation de la réduction de modèle est cependant hasardeux et le choix de l’ordre de troncature d’une base modale est comparable à celui d’une série trigonométrique pour les méthodes semi-analytiques : il faut tester la convergence de l’erreur d’approxima-tion.