Machine thermique électrique

Oscillations de Gundlach

Dans le but de réaliser la machine thermique électrique envisagée il nous faut deux réservoirs d’électrons à des températures différentes, ce qui requiert la présence d’une contre électrode. En soit dans le cadre d’un calcul de Fowler Nordheim cette contre électrode est forcément présente pour appliquer la tension d’extraction. Cependant comme elle est à priori éloignée son influence n’est pas prise en compte. Dans notre cas nous voulons faciliter le transit d’électrons entre les deux réservoirs et donc la distance entre les électrodes est grandement réduite. Elle devient alors suffisamment faible pour ne plus être négligeable. En effet dans le cas ou deux surfaces sont proches des oscillations dans la densité de courant passant d’une électrode à l’autre ont été observées expérimentalement.

L’émergence de ce phénomène a été décrite par K.H. Gundlach en 1966  et s’explique par la réflexion des ondes électroniques à la surface de la contre électrode. La géométrie type est présentée sur la figure 4.1. On peut y voir deux métaux séparés par du vide. Dans un premier temps nous considérons une température de 0K. Dans le vide entre les deux métaux, il existe une zone d’énergie permise pour les électrons entre le bas de la barrière de potentiel et le niveau de Fermi (zone hachurée en rouge sur la figure 4.1). La contribution principale au courant passant d’une électrode à l’autre provient des niveaux proches du niveau de Fermi car c’est là que la fonction d’apport est la plus grande (voir section 2.2.3.3).

Si la longueur de la zone permise dans le vide est de l’ordre d’un multiple de la longueur d’onde électronique alors une onde stationnaire peut s’établir, ouvrant un canal de conduction privilégié. Cela se traduit par une oscillation dans la densité de courant J quand la distance entre les électrodes varie, car alors les niveaux énergétiques dans la zone permise bougent et l’un d’eux peut se trouver aligné avec le niveau de Fermi

A température nulle

 Nous revenons dans cette section sur le développement fait par Gundlach dans son article originel. On se place dans la géométrie présentée sur la figure 4.1. Les zones 1 et 2 sont les métaux de l’électrode et de la contre électrode avec leur travail de sortie respectif φ1 et φ2 à priori différents (sur la figure nous avons φ1 > φ2). Dans la partie gauche les surfaces des métaux sont proches mais pas en contact (une distance d les sépare).

Comme les travaux de sortie sont différents, les énergies de Fermi des deux métaux sont différentes (par rapport au vide). Les deux métaux n’ont donc pas le même potentiel chimique interne ; des électrons vont transiter d’un métal à l’autre afin de créer un champ électrique qui va contrebalancer cette différence d’énergie. Une fois passé ce régime transitoire les potentiels électrochimiques (qui prend en compte le potentiel chimique interne et les effets électrostatiques) des deux matériaux sont les mêmes [22] et on a une chute de potentiel Δφ = φ1 −φ2 entre les deux. Quand on applique une tension V entre les deux métaux alors on déforme la barrière de potentiel et les charges recommencent à circuler. Pour bien prendre en compte les phénomènes de réflexion à l’interface avec le métal 2 nous sortons du cadre du calcul WKB standard que nous avons utilisé dans la section 2.2.3.

A température non nulle 

L’article originel étudie l’effet d’oscillation à 0K, mais dans notre cas nous souhaitons nous intéresser par la suite à une géométrie où l’électrode et la contre électrode sont chauffées. Nous avons besoin de la dépendance en température.

Simulation des oscillations de Gundlach 

Nous avons désormais les formules nécessaires à la simulation des oscillations de Gundlach qui sont menées sur le logiciel Matlab R2016b. L’algorithme en soit est une simple intégration sur les énergies comme le montrent les formules (4.14) et (4.15). Pour que l’algorithme soit fiable pour une large gamme de paramètres d’entrée, il faut néanmoins prendre quelques précautions, ne serait-ce que sur les fonctions d’Airy présentes dans le coefficient de transmission. Nous commencerons par détailler ces quelques écueils puis nous présenterons les premiers résultats de simulation qui portent sur l’effet de la température sur les oscillations de Gundlach et la comparaison de nos résultats avec des résultats expérimentaux issus de la littérature afin de vérifier la viabilité de nos programmes. 

Détails sur l’algorithme

 Une rapide étude des fonctions d’Airy fournies par Matlab montre que l’évaluation devient impossible dès lors que l’argument adimensionné dépasse 103, 996 pour les fonctions Bi et B i. La valeur renvoyée est alors Inf. Les fonctions de première espèces, elles, tendent vers 0 quand l’argument atteint la centaine. Nous pouvons voir avec l’équation (4.8) qu’a une distance inter-électrode donnée, dès que nous étudions la géométrie pour des tensions appliquées trop faibles des erreurs vont apparaître car alors z ∝ (eV +Δφ)−2/3 devient grand. Cependant si l’on se réfère à l’équation (4.11) on peut voir que le coefficient de transmission ne fait apparaître que des produits de fonctions d’Airy : une fonction de première espèce multipliée par une de deuxième espèce. On peut donc penser que si l’une diverge et que l’autre tend vers 0 le produit peut ne pas diverger.

Effet de la température

 Dans cette section nous allons étudier l’effet de la température sur les oscillations de Gundlach et vérifier que ce phénomène existe toujours à des températures plus élevées. Pour cela nous nous fixons une géométrie et nous calculons numériquement les intégrales présentées en (4.14) pour la situation à 0K et en (4.15) pour prendre en compte l’effet de la température. Nous prenons comme référence des notations la figure 4.1. La figure 4.2 montre la comparaison entre la formule de Gundlach à 0K et le modèle avec la dépendance en température à 1K. L’idée est de vérifier que les courbes coïncident, ce qui est le cas.

Pour améliorer la visibilité des oscillations, nous avons choisit de tracer la résistance différentielle dJ/dV normalisée par rapport à la densité de courant J. Le tracé de cette grandeur en fonction de la tension V appliquée entre les électrodes montre clairement un caractère oscillant. L’interprétation est la suivante : quand aucune tension n’est appliquée les niveaux de Fermi sont alignés. L’application d’une tension décale les niveaux de Fermi et déforme la barrière de potentiel. Il se forme une zone permise pour les électrons (zone hachurée en rouge sur la figure 4.1). Dans cette zone il va se former des niveaux résonants car à cause des réflexions à la surface du deuxième métal il peut se former des ondes électroniques stationnaires. Un tel niveau va se former quand la longueur de cette zone est proportionnelle à la longueur d’onde électronique.