L’UTILISATION DE LA MATHEMATIQUE EN ECONOMETRIE ET EN ECONOMIE

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LES SPECIFICITES DE LA MODELISATION, DE L’ECONOMIE, ET DE L’ECONOMETRIE

Cette première partie sert à analyser les différentes spécificités de la modélisation, de l’économie, et de l’économétrie. En d’autre terme, on va donner des définitions, déterminer leurs objets d’études respectifs, connaître ses approches, et déterminer ses évolutions dans le temps et dans l’espace. En un mot, il s’agit de faire une analyse que l’on peut qualifiée de détaillée de cestrois disciplines.
Ces analyses des spécificités de al modélisation, de l’économie, et de la modélisation vont nous permettre en deuxième partie de ce travail, de déterminer les interactions entre la modélisation, l’économie, l’économétrie, la mathématique, et l’informatique.

DEFINTION ET STRUCTURE D’UN MODELE

Définition

D’une manière générale, un modèle est la représentation formalisée et structurée, mais approximative et incomplète, d’un ensemble d’éléments réels, ensemble choisi et délimité par le créateur du modèle. D’après Christopher Dougherty, dans son livre intitulé « Introduction à l’économétrie » publié en 2002, il définit un modèle comme un ensemble de relations entre différentes variables présentant entre elles un lien de cause à effet. Cet ensemble d’éléments, de relations, et des variables, constitue un « système ».
Le système peut être défini comme un ensemble d’éléments et d’événements qui sont en étroite dépendance et qui se soutiennent mutuellement. Les actions du monde extérieur sur le système se traduisent par l’existence des «variables d’entrée ». Par contre, les actions du système sur son environnement se traduisent par des «variables de sortie ».
L’étude d’un système consiste, une fois ses variables d’entrée et de sortie définies, à rechercher les liaisons qui existent entre ces variables, c’est-à-dire à établir un modèle du système. Pour se faire, on introduit souvent un certain nombre de variables auxiliaires représentatives d’éléments du système, que l’on appelle « variables d’état ».

Structure d’un modèle

Un modèle peut se limiter à une seule ou quelques équations. On peut prendre l’exemple de la fonction de consommation keynésienne suivante: C = cY + C O c’est-à-dire C = f(Y) avec C : la consommation ; Y : le revenu national ; et c et Co des constantes.
La consommation est fonction du revenu c’est-à-dire que C dépend de Y. C est donc dans ce cas appelée variable dépendante ou expliquée et Y la variable indépendante ou explicative. La ou les variables explicatives sont alors considérées comme faisant partie de l’environnement. Elles sont extérieures aux modèles et on parle à leur propos de variables exogènes par opposition à la variable expliquée dite variable endogène. En générale, un modèle va intégrer plusieurs relations et les variables explicatives pour chacune d’entre elle ne sont plus nécessairement des variables exogènes du modèle.
Prenons le cas du modèle d’équilibre simple suivant : Y = C+I ; C = f(Y) ; I = I*
Dans la première relation, la variable expliquée qui est le revenu national Y est égale à la somme de la consommation et de l’investissement. Ici, la qualité de l’explication est faible et on parle souvent de relation comptable ou de définition.
La seconde relation explique la consommation C en fonction du revenu. Il s’agit là d’une véritable explication ayant à la fois des fondements empiriques et théoriques. Elle reflète la façon dont les agents économiques se comportent pour dépenser leur revenu, on parle donc de relation de comportement. La théorie économique et les travaux empiriques vont permettre de préciser certaines caractéristiques de cette fonction, par exemple la consommation augmente quand le revenu augmente. Ceci peut être écrit dC/dY >0 ou encore que la consommation augmente proportionnellement moins que le revenu soit d 2 C/dy 2 < 0.
La troisième relation n’est là que pour indiquer la limite du modèle qui ne cherche pas à expliquer l’investissement.
Ce modèle possède trois relations (équations), deuxvariables expliquées ou endogènes; mais on remarquera que dans les deux premières équations, la variable expliquée de l’une est aussi la variable explicative de l’autre soulignant une première forme d’interdépendance. Ecrit de cette manière, le modèle est dit mis sous sa forme structurelle. Les relations économiques fondamentales, ici la fonction de consommation, apparaît explicitement.
On peut dire donc qu’au niveau des équations, on distingue :
– des équations de définitiondes variables à partir d’autres variables, qui se traduisent par des équations comptables. On peut prendre comme exemple la première relation c’est-à-dire Y=C+I avec I supposé constante.
-des équations d’équilibrequi reflètent les équilibres entre les variables du système, et se traduisant par des égalités entre deux variables.
Exemple : Offre=Demande -des équations ou des relations de comportement ou fonctionnelles aussi, dont la forme algébrique et les coefficients numériques ne sont pas connus à priori mais doivent être déterminés par des méthodes appropriées.
Exemple : C=f(Y)=cY+Co Les coefficients à déterminer sont c et Co.
Il faut connaître maintenant ce que c’est un modèlestructurel et un modèle réduit.
Un modèle structurel et un modèle réduit :
Quelle que soit leur diversité, les modèles peuvent être organisés de deux manières distinctes, suivant l’approche choisie dans l’étude d’un système :
-soit le système est constitué par des équations reliant chacune, une variable endogène à un ensemble de variables exogènes :
Exemple : Y1=aX1+bX2
Ce modèle présente un grand intérêt puisqu’il permet de calculer rapidement les valeurs des variables de sortie à partir des valeurs des variables d’entrée. Ce type de modèle s’appelle modèle réduit ;
-soit le système est analysé dans ses structures et ses mécanismes de fonctionnement internes. Dans ce cas le modèle, dit modèle structurel, est constitué par des équations pouvant contenir simultanément plusieurs variables endogènes et plusieurs variables exogènes, suivant la nature des liaisons entre les variables du système :
Exemple : a1Y t +a2 Z t = b1X1t+b2X2t+b3Yt-1
Cette forme de modèle, plus complexe, permet une vue plus approfondie du système étudié ; elle est plus adaptée à la connaissance scientifique, en particulier à la vérification d’hypothèses théoriques.
En résolvant le système d’équations du modèle structurel, on peut toujours obtenir le modèle réduit correspondant.

TYPOLOGIE DES MODELES

On va faire des classifications (des modèles) qui va nous faire apparaître avec précision la nature et l’intérêt particulier d’un type particulier de modèle.

Modèles théoriques, modèles comptables, modèles économétriques

Cette classification est basée sur le degré de proximité du modèle par rapport à l’analyse théorique et à la description brute des faits concernant le système étudié. L’analyse théorique de tout phénomène, particulièrement dans le domaine des sciences économiques, permet d’identifier les concepts utiles à la représentation de ce phénomène puis de formuler un corps d’hypothèses cohérentes sur les relations entre les concepts étudiés.
a) Les modèles théoriques : ces modèles sont une représentation d’un système sous forme de relation algébrique, qui assure une cohérence et une rigueur mathématique à l’analyse théorique.
Exemple : La théorie keynésienne affirme que la consommation des ménages est fonction de leur revenu. On peut donc formuler le modèle comme suit : C=aY+b
On remarque sur cet exemple qu’il peut exister pour une théorie plusieurs modèles théoriques correspondants à différentes spécifications ou variantes de celle-ci. Néanmoins un modèle théorique est toujours du domaine de l’hypothèse non vérifiée.
b) Les modèles comptables : ces modèles permettent une organisation des informations sur les phénomènes, à partir des concepts fournis par l’analyse théorique. Ces informations sont élaborées à partir des techniques d’observation et de collectes appropriées (enquête,..). Ces modèles assurent une rigueur et une cohérence des informations sur le système étudié. Cependant ces modèles ne formalisent pas vraiment les liaisons qui existent entre les variables endogènes et les variables exogènes.
c) Les modèles économétriques : ces derniers modèles font la synthèse des modèles théoriques et des modèles comptables. Ils ont pour objet de fournir une représentation la plus exacte possible du système étudié. A cette fin, ils confrontent les hypothèses des modèles théoriques avec les chiffres fournis par les modèles comptables, grâce à des méthodes statistiques spécifiées. Ainsi on obtient un modèle dont les coefficients sont connus et qui permet d’obtenir des valeurs chiffrées des variables endogènes à partir des variables exogènes. Par ailleurs des techniques statistiques d’évaluation permettent de mesurer la précision des résultats, c’est-à-dire les erreurs avec la réalité connue à partir des informations.
On peut aussi classifier les modèles selon le critère d’intégration du temps, d’où les modèles statiques et les modèles dynamiques.

Les modèles statiques et les modèles dynamiques

A la base de cette classification se trouve la représentation du système par rapport au temps.
a) Modèles statiques : ces modèles ne feront pas intervenir, pour la détermination de l’équilibre associé à une période donnée, que les ariablesv de cette période. En d’autre
terme, on suppose que l’état du système au temps t est indépendant ou identique à l’état du système en t-1, t+1, etc.… . On fait donc l’hypothèse de l’invariance temporelle des relations du modèle.
On se contente donc de décrire l’état d’un système dont la structure est donnée (les paramètres) et pour un état donné de son environnement (les variables exogènes). Ce type de modèle n’est possible que si, dans cet état, le système n’est soumis à aucune force qui va en modifier la structure et pour cela, on se réfère très souvent à la notion d’équilibre. De plus, cet équilibre doit posséder certaines propriété, et comme le système est à priori soumis à des chocs qui vont l’en écarter, des mécanismes automatiques doivent se mette à jouer pour restaurer un tel équilibre. On parle à ce propos de stabilité de l’équilibre.
Supposons un modèle de forme suivante : Yt = a+ bX t +µt avec µt l’erreur.
Ce type de modélisation va servir à évaluer l’impact d’une variation d’une variable exogène sur les variables endogènes du modèle. On peut donc voir dans le modèle que si X varie d’une unité, Y va varier de b unité(s).
b) Modèle dynamique : Dans les modèles dynamiques, le temps joue au contraire un rôle essentiel et la solution du modèle donnera la valeur des variables endogènes à une date donnée comme dans un modèle statique, mais surtout permettra de préciser le comportement dans le temps de ces variables. D’un point de vue formel, on peut travailler en temps discret par référence à une période élémentaire permettant de mesurer la variation des variables X t = X t – X t1 , et qu’on peut se rapprocher d’une période calendaire (jour, mois, trimestre, année selon le cas). On peut également raisonner en temps continu en choisissant une période aussi petite qu’on le désire. Les modèles en temps continu sont des modèles où les variables dans le système d’équation apparaissent comme une fonction continue du temps et les variations deviennent donc des dérivées exactes de celui-ci. Deux cas méritent tout particulièrement l’attention en matière de modélisation dynamique :
– certaines spécifications des relations de comportement d’un modèle vont impliquer, au niveau de sa solution, des conditions de comportement dans le temps des variables endogènes. Partons par exemple d’une condition d’équilibre épargne – investissement S=I en prenant une fonction d’épargne proportionnelle du type S = sY et en spécifiant la fonction de demande d’investissement par un accélérateur I= ß ΔY, la condition d’équilibre s’écrit : Y = . Pour que cette condition d’équilibre se maintienne dans le temps, il faut que le revenu national croisse au taux s/ß.
– la spécification de certaines relations de comportement peut conduire à l’introduction de variables endogènes retardées et ceci, afin de tenir compte de délais d’ajustement. Par exemple, on fera dépendre la consommation, non pas du revenu de la période courante, mais du revenu de la période précédente. De même, le niveau de la production ne dépendra pas du prix courant, mais du prix de la période précédente afin de prendre en compte les délais entre les décisions de mise en production et le moment où la production est disponible à la vente sur le marché.
A la période t, la variable endogène retardée est donnée et invariante, on peut donc la considérer comme exogène en raisonnant purement en statique. Les modèles dynamiques utilisent donc pour déterminer l’équilibre d’une période, des variables d’autres périodes. La justification en pourra être :
– théorique : certaines agents seront supposés intégrer dans leur comportement leurs constatations passées ;
– institutionnelle : Par exemple l’impôt sur le revenu payé par le ménage sera basé sur leur revenu de la période précédente ;
– mécanique : par exemple le taux de croissance, le passage du taux de croissance annuel au niveau instantané nécessite la prise en compte du niveau précédant.

Les modèles endogènes et modèles explicatifs à vari ables exogènes

Cette classification repose sur le mode de représentation du système : sa structure interne et ses relations avec son environnement.
a) Un modèle endogène : c’est un modèle constitué uniquement par des variables endogènes du système étudié (variables d’état c’est-à-dire des variables auxiliaires ; et des variables de sorties dues aux actions du système sur son environnement) sans aucune référence aux variables d’entrée qui sont des variables résultant des actions de l’environnement sur le système. De ce fait, la structure interne du système et ses relations avec son environnement ne sont pas explicitées.
Ce modèle se présente sous la forme d’équations indépendantes où chaque variable endogène est fonction du temps et du décalage : Y t =f(y t1 ,…,y ti ,…. ;.t)
Ce type de modèle n’est utilisable que pour des prévisions à cour terme, en supposant que l’environnement est stable.
b) Un modèle explicatif à variables exogènes : c’est un modèle constitué de variables endogènes et de variables exogènes liées entre elles par des équations. Ce modèle est orienté vers l’analyse de la structure interne du système et de ses relations avec son environnement. Il permet de vérifier les hypothèses théoriques, de réaliser des prévisions à court et moyen terme, d’établir des simulations.

Modèles de simulation, de prévision ,et d’optimisation

Un modèle peut faire l’objet de plusieurs types d’utilisations pratiques. En tant que représentation simplifiée, le modèle devra être construit de façon à être adapté le mieux possible aux exigences de ces différentes utilisations. Cette dernière classification permet ainsi d’étudier les caractéristiques spécifiques des modèles suivants leurs utilisations.
a) Les modèles de simulation : ils ont pour objet d’étudier le champ des états possibles du système et de ses sorties en fonction :
– de l’impact des modifications de l’environnement,
– de l’impact des décisions concernant les variables de commande des variables exogènes.
Deux procédures de simulation sont couramment utilisées :
– simulations successives du modèle en faisant varier tour à tour chaque variable exogène dans une plage ou bande autour d’une valeur centrale donnée de façon à étudier les déformations marginales du système autour d’un étatde référence,
– simulation sur la base de quelque « scénarios » s uccessifs. Chaque scénario correspondant à un ensemble cohérent de valeurs des variables exogènes traduisant un
état probable de l’environnement ou un mode de gestion déterminé.
b) Les modèles de prévision : ils ont pour objet de prévoir avec la plus grande précision possible l’état le plus probable du système à un instant donné, à partir des prévisions sur l’état de l’environnement et d’un choix déterminé des valeurs des variables de commandes.
Il existe deux types de modèles de prévision :
– un modèle de prévision à court terme qui est basé sur l’étude fouillée des délais de réaction entre les variables et la recherche des effets des variables exogènes les plus
instables à court terme (moins d’un an) ;
-un modèle de prévision à moyen et long terme qui est basé sur l’étude détaillée des effets des variables exogènes traduisant les modifications de structure de l’environnement ou la transformation des politiques ou des actions sur le système. Dans ce type de modèle, on devra travailler sur des données de longues périodes.
c) Les modèles d’optimisation : ils présentent deux caractéristiques :
-une fonction d’évaluation qui permet de définir les états souhaitables ou optimaux du système parmi les états possibles ;
-un algorithme de résolution du modèle qui permet de repérer les états optimaux et de calculer les valeurs des variables de commande correspondantes.

UTILISATIONS DES MODELES

Depuis environ une trentaine d’années, les modèles ont connu un développement considérable en particulier dans le domaine des sciences économiques. Pour que les modélisations puissent être vraiment possibles, tro is conditions doivent être réunies :
-l’existence d’informations structurées, de faible coût, et en grande quantité sur le phénomène étudié. Ceci est rendu possible grâce aux développements des systèmes comptables nationaux et d’entreprises, des systèmes informatiques et des réseaux, et des banques de données informatisées ;
-l’existences des moyens de calcul : ordinateurs et programmathèques (logiciel) spécialisées ;
-l’existence d’économistes ou des statisticiens ayant la formation requises.
Nous allons maintenant aborder l’utilisation des modèles. Pour cela, nous allons centrons notre commentaire sur l’exemple des modèles économiques. La première utilisation des modèles économiques est certainement la prévision, et ensuite l’utilisation pour la recherche scientifique.

Table des matières

INTRODUCTION
PREMIERE PARTIE :LES SPECIFICITES DE LA MODELISATION, DE L’ECONOMIE, ET DE L’ECONOMETRIE
Chapitre 1 : LA MODELISATION
I- DEFINTION ET STRUCTURE D’UN MODELE
1-1) Définition
1-2) Structure d’un modèle
II-TYPOLOGIE DES MODELES
2-1) Modèles théoriques, modèles comptables, modèles économétriques
2-2) Les modèles statiques et les modèles dynamiques
2-3) Les Modèles endogènes et modèles explicatifs à variables exogènes
2-4) Modèles de simulation, de prévision ,et d’optimisation
III- UTILISATIONS DES MODELES
3-1) La prévision
3-2) Utilisation pour la recherche scientifique
Chapitre 2 : L’ECONOMIE
I-RETOUR AUX DEFINITIONS ET OBJETS DE LA SCIENCE ECONOMIQUE
II- L’ECONOMIE EST-ELLE UNE SCIENCE EXACTE OU DURE ? QUELLES SONT LES LIMITES DE L’APPROCHE SCIENTIFIQUE EN ECONOMIQUE ?
2-1) L’économie comme une science au sens pur du terme
a) Les comportements économiques sont rationnels
b) On peut formaliser les comportements économiques
c) La dimension monétaire des phénomènes économiques
2-2) L’existence de l’incertitude et le statut scientifique des sciences économiques
Chapitre 3 : L’ECONOMETRIE
I- ECRITURE DE LA THORIE OU DE HYPOTHESE (première étape)
II- SPECIFICATION EN MODELE MATHEMATIQUE DE LA THEORIE (deuxième étape) 24
2-1) Choix d’une relation linéaire
2-2) Choix d’une relation non linéaire
III- RECHERCHE DES DONNEES ET ANALYSE DES DONNEES COLLECTEES (troisième étape)
IV-ESTIMATION DES PARAMETRES DU MODELE (quatrième étape)
V- TESTS DES HYPOTHESES(cinquième étape)
VI- PREDICTIONS OU PREVISIONS (sixième étape)
6-1) Les simulations ex-post
6-2) Les prévisions ex-post :
VII- UTILISATION DU MODELE A DES FINS DE CONTROLE ET DE POLITIQUE ECONOMIQUE
DEUXIEME PARTIE:LES INTERACTIONS ENTRE LA MODELISATION, L’ECONOMIE, L’ECONOMETRIE, LA MATHEMATIQUE, ET L’INFORMATIQUE
Chapitre 1 LA MODELISATION ET L’ECONOMETRIE
I – LA METHODE DU MOINDRE CARRE ORDINAIRE :
1-1) Modèle linéaire simple
1- 2) Modèle linéaire multiple
II-LE TEST DU MODELE
2-1) Le test de significativité individuelle des paramètres
2- 2) Le test de significativité globale des paramètres
2-3) Le coefficient de détermination
III- LA VIOLATION DES HYPOTHESES CLASSIQUES DU MCO
3-1) Cas où l’espérance des erreurs n’est pas nulle
3-2) Violation de l’hypothèse de normalité de e i
a)Conséquence de la multicollinéarité
b) Détection de la multicollinéarité
c) Les solutions proposées pour résoudre le problème de multicollinéarité
3-4) L’hétéroscédasticité
a) Traitement de l’hétéroscédasticité
b) Détection de l’hétéroscédasticité
3- 5) L’autocorrélation des résidus
a)Conséquences de l’existence de l’autocorrélation des résidus
b )Processus d’estimation en présence d’autocorrélation des résidus :
c) Détection de l’autocorrélation :
Chapitre 2 : L’UTILISATION DE LA MATHEMATIQUE EN ECONOMETRIE ET EN ECONOMIE
I-L’UTILISATION DE L’ALGEBRE LINEAIRE
1-1 L’utilisation de l’algèbre linéaire en économétrie
1-2- Utilisation de l’algèbre linéaire en économie
II- L’UTILISATION DE L’ANALYSE
2-1- L’utilisation de l’analyse en économétrie
2-2- L’utilisation de l’analyse en économie
Chapitre 3 : L’INFORMATIQUE DANS LA MODELISATION ET DANS L’ECONOMETRIE
I- LE CRITERE DU CHOIX DU LOGICIEL
II- CAS DU LOGICIEL SPSS 13.0.1
1- Qu’est-ce qu’on peut faire avec SPSS 13.0.1
2- Cas pratique de l’utilisation du logiciel SPSS 13.0.1
CONCLUSION
ANNEXES
LISTE DES ABREVIATIONS
BIBLIOGRAPHIE

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