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Limites singulières en faible amplitude pour l’équation des vagues
L’équation des Water-Waves
De Euler à Zakharov-Craig Sulem
L’équation des vagues, plus communément appelée équation des Water-Waves, modélise mathématiquement le mouvement d’un uide sous l’influence de la gravité, délimité par le bas par un fond xe, et par le haut par une surface libre qui le sépare de l’air (ou de tout autre uide à densité négligeable par rapport à la sienne). Usuellement, les hypothèses suivantes sont faites : (H1) Le uide est homogène et non visqueux. (H2) Le fuide est in ompressible. (H3) Le uide est irrotationel. (H4) La surfa e et le fond peuvent être paramétrés par des graphes. (H5) Les parti ules de uide ne traversent pas le fond. (H6) Les parti ules de uide ne traversent pas la surfa e. (H7) La pression extérieure est onstante, et on travaille sans tension de surfa e. (H8) Le uide est au repos à l’inni. (H9) Il existe toujours une hauteur d’eau minimale. Les hypothèses (H1) et (H2) impliquent que le mouvement du uide peut être dé rit par les équations d’Euler. L’hypothèse (H3) simplifie l’étude, mais n’est pas nécessaire, et de plus en plus de travaux ré ents s’intéressent au problème avec vorti ité . L’hypothèse (H4) exclut l’étude des vagues déferlantes. En parti ulier, on s’attend d’ores et déjà à e que les équations modélisant le mouvement ne soient pas bien posées globalement en temps dans le as général. En revan he, il paraît logique que plus l’amplitude des vagues du système étudié est faible, plus le temps d’existen e des solutions pour de telles équations est grand. Cette dernière onsidération est un des tenants importants du travail ee tué dans ette thèse. Voir les travaux sur la création de singularités pour l’équation des vagues à e sujet . Les hypothèses (H5) et (H6) apportent aux équations d’Euler des conditions de bord. Ces conditions sont essentielles pour la modélisation mathématique du problème, et jouent un rôle important dans l’étude qui est menée dans cette thèse, comme nous le verrons plus loin. Le fait que la pression extérieure soit constante (hypothèse (H7)) ou non n’est en fait pas primordial, et de ré ents travaux sur l’influence de fortes pressions extérieures induites par exemple par des tempêtes ont été menés . En revanche, nous utiliserons la tension de surface plus tard, mais son introduction sera alors soigneusement expliquée.
Articulation de la thèse
Les modèles asymptotiques sont importants en pratique, ar ils permettent une étude simplifiée du problème des Water-Waves. Par étude simplifiée, nous entendons notamment al ul numérique sur des écoulements à surfa e libre. Par exemple, l’équation de toit rigide (1.1.4) est posée sur un domaine contrairement aux équations d’Euler à surfa e libre. L’équation de Boussinesq Peregrine (1.1.6), quant à elle, ne fait intervenir que des opérateurs différentiels » classiques » (ou tout du moins lo aux), tout en permettant l’étude du ara tère dispersif des Water-Waves en fond non plat. Le premier ob je tif de la thèse était de justier mathématiquement le modèle toit rigide, en démontrant rigoureusement la convergence quand ε tend vers 0 des équations d’Euler après changement d’é helle en temps t 1 εt. Pour e faire, plusieurs étapes étaient à fran hir : (1) donner un temps d’existence de taille 1 ε quelle que soit la taille du fond pour l’équation des Water-Waves ; (2) donner une définition rigoureuse des solutions de l’équation d’Euler à surfa e libre, puis prouver l’équivalence de cette équation ave elle des Water-Waves; (3) étudier la limite toit rigide quand ε tend vers 0. Le premier point n’est pas anodin. En eet, le théorème d’existence lo ale le plus pré is onnu pour l’équation des Water-Waves était celui d’Alvarez-Samaniego Lannes, qui donnait un temps d’existence de taille 1 ε_β , ‘est à dire un temps d’existence T C ε_β où C dépend des données initiales, ave a _ b max pa, bq. Après changement d’é helle en temps dans le cadre de l’étude du régime toit rigide, t 1 εt, on obtient ave e Théorème un temps d’existence de taille ε ε_β , et don à la limite ε tend vers 0, on obtient des solutions dénies… uniquement en zéro, si au une hypothèse de petitesse n’est faite sur la taille β de la topographie. Un premier arti le rédigé au ours de ette thèse, portant le doux nom de « The Cau hy problem on large time for the Water Waves equations with large topography variations » et a été dans le journal « Annales of IHP », démontre un temps d’existence amélioré, de taille 1 ε dans les variables de départ, et ce quelle que soit l’amplitude de variation du fond, pourvu que l’on introduit de la tension de surfa e. Comme nous le verrons, un temps d’existence de cette taille a également un intérêt théorique dans le cadre de la théorie des systèmes hyperboliques.
EXISTENCE EN TEMPS LONGS POUR LES ÉQUATIONS DE TYPE HYPERBOLIQUES
Le deuxième point semble apparaître comme traitement vrai dans la littérature, alors qu’il n’est en réalité que très rarement justifié (voir pendant [3℄). Pourtant il existe une véritable question fon tionnelle non triviale qui est de définir mathématiquement un espace de solutions définies sur un domaine qui bouge dans le temps. Une appro he originale a été abordée au ours de ette thèse, et sera détaillée plus loin. Brisons dès à présent le petit mythe rée quelques lignes plus tt sur l’équation du toit rigide (1.1.4) : cette équation est triviale. Plus précisément, il n’est pas di ile de démontrer que les seules solutions possibles à cette équation sont… nulles. Si e dernier fait ea e instantanément tout intérêt au modèle, il apporte néanmoins une information importante : les solutions de l’équation des Water-Waves dans l’é helle de temps du toit rigide (t 1 εt) doivent converger vers 0 (puisqu’elles convergent vers les solutions de l’équation du toit rigide). La convergence dans le même régime a été étudiée dans [13℄ dans le as de l’équation Shallow-Water. La convergence faible y est démontrée. Néanmoins la convergence forte dans un espace de type L 8 pp0; T q;L 2 pR d qq n’est pas vraie dans le as général. Un se ond ob je tif au ours de la thèse a été de démontrer qu’un tel défaut de convergence persistait dans le as de l’équation des Water-Waves complète. C’est l’ob jet d’un autre arti le soumis durant ette thèse, intitulé « Singular limit in the rigid lid regime for the Water-Waves equations ». Remplir et ob je tif né essitait néanmoins d’établir une estimation de dispersion pour l’équation linéarisée autour d’une surfa e plate et d’un fond plat, e qui à notre connaissance n’a pas été fait jusque i i dans le as des équations en fond ni (voir Iones u-Pusateri [32℄, Alazard-Delort [4℄ et [5℄ et une large littérature pour l’étude du as du fond aussi, et [45℄ pour une première étude dans le as du fond ni). Cette étude constitue un troisième arti le, intitulé « A dispersive estimate for the linearized Water-Waves equations in nite depth ». Enn, un dernier ob je tif était d’adapter la méthode d’existence en temps long utilisée pour l’équation des Water-Waves au modèle asymptotique de Boussinesq-Peregrine. Comme d’au uns pourront le constater en lisant l’arti le intitulé « The Cau hy problem on large time for a Boussinesq Peregrine equation with large topography variations », la stru ture fort peu pratique de cette équation nous a ontraint à envisager un modèle équivalent (en terme de assistant e ave l’équation des Water Waves) se prêtant mieux à la méthode. Comme nous l’expliquerons plus loin, l’obtention de résultats d’existence en temps long pour les équations de Boussinesq-Peregrine et de Water-Waves en grand fond revient à étudier un problème de perturbation singulière de type anélastique/faible nombre de mach, dans un cadre dispersif.
1 Introduction |
