L’ETUDE EXPERIMENTALE DE L’EQUILIBRE D’UN
SOLIDE MOBILE AUTOUR D’UN AXE FIXE

Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe

Un solide mobile est animé d’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe, si les points du solide situés sur l’axe de rotation sont immobiles et les autres points du solide décrivent des trajectoires circulaires ou des arcs de cercle dans un plan perpendiculaire à l’axe et centrés sur l’axe de rotation. Pendant la durée Δt, tous les points du solide tournent d’un même angle α dans un sens bien défini. Figure 1 : Mouvement de rotation d’un solide Les points M et N sont immobiles tandis que les points A et B sont mobiles et décrivent des trajectoires circulaires. 

Vitesse angulaire

Cas d’un point du solide

On considère le mouvement de rotation d’une porte autour d’un axe (Δ) passant par ses gonds. Soit un point M appartenant à cette porte autre que les points de contact entre les gonds et la porte. Le mouvement du point M est un mouvement de rotation autour de l’axe (Δ). Ainsi, la trajectoire du point M est un arc de cercle de rayon R. Le mouvement du point M est circulaire. Entre deux instants t1 et t2, le point M décrit un arc de cercle avec un déplacement angulaire de mesure α. S La relation entre l’arc de cercle S et l’angle α est: Avec : –  angle de rotation en rad. m.rad m rad – R distance entre le point M et l’axe de rotation en mètre. Nous définissons la vitesse angulaire moyenne que l’on note ω m comme le rapport entre l’angle de rotation  exprimé en rad et la durée du parcours Δt exprimée en seconde. rad rad/s s Avec Δα : déplacement angulaire effectué entre les deux positions angulaires 1 et 2 exprimée en radian (rad) Δt : durée du parcours exprimée en seconde (s) Wm : vitesse angulaire moyenne exprimée en rad/s Figure 2 : Trajectoire d’un point M entre deux instants t1 et t2 S 5 Nous définissons la vitesse angulaire instantanée comme la vitesse angulaire à un instant donné. Nous évaluons en calculant la vitesse angulaire moyenne pendant un intervalle de temps très court noté dt encadrant l’instant t considéré. On note : w(t) rad rad/s s 

Cas du solide

Considérons la porte, tous les points de la porte tournent du même angle α pendant la même durée. En conséquence, tous les points de la porte ont à chaque instant la même vitesse angulaire ω(t). Tous les points d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ont, à chaque instant, la même vitesse angulaire ω(t) : c’est la vitesse angulaire du solide. Nous avons remarqué que tous les points du solide ont à chaque instant la même vitesse de rotation, mais ils n’ont pas généralement la même vitesse linéaire. 

Le mouvement de rotation uniforme

Définition : Un solide est en mouvement de rotation uniforme si sa vitesse angulaire est constante au cours du temps : ω m = ω (t) = ω. 

Exemple d’un mouvement de rotation

La Terre est animée d’un mouvement de rotation uniforme autour de l’axe des pôles. Ce mouvement est périodique. La durée pour effectuer un tour complet est appelée période, que l’on note T. Pour la Terre, T = 86164 s : période de rotation autour de l’axe des pôles dans le référentiel géocentrique. La vitesse angulaire de la Terre est donnée par l’expression ci-dessous : rad/s rad s w(t)= Avec dα : Déplacement angulaire infinitésimal dt : Temps infinitésimal w(t) : Vitesse angulaire à l’instant t Avec Δα : 2 rad Δt : T 6 A.N : w= = 7,3.10 -5 rad/s II. Etude de l’effet d’une force sur un solide mobile autour d’un axe fixe .

Importance de la direction de la force

Expériences et observations: Expérience n° 1 : Considérons la porte d’une salle de classe, à cause des gonds qui la soutiennent, le seul mouvement qu’elle puisse prendre est un mouvement de rotation autour d’un axe vertical fixe joignant les gonds. Pour faire tourner la porte autour de cet axe, nous devons lui appliquer une force exercée au poignet de cette porte, une force ⃗ perpendiculaire au plan de la porte par exemple. Figure 3 : Poignet d’une porte soumis à une force perpendiculaire au plan de la porte Observation : Nous observons que la force ⃗ fait tourner la porte autour de l’axe de rotation. La porte tourne autour de l’axe des gonds. Expérience n° 2 : Si nous appliquons une force ⃗ verticale sur le poignet, c’est-à-dire parallèle à l’axe de rotation. Figure 4 : Poignet d’une porte soumis à une force parallèle à l’axe Observation : Nous observons que la force ⃗ n’a aucun effet sur la porte. Cette dernière reste immobile. Expérience n° 3 : Tirer horizontalement et perpendiculaire à l’axe de rotation la porte sur le poignet avec une force ⃗ . Figure 5 : Poignet d’une porte soumis à une force horizontale dans le plan de la porte Observation : Nous observons que la force ⃗⃗⃗ n’a non plus aucun effet de rotation. La porte est restée immobile. 8 Expérience n° 4 : Exerçons maintenant une force inclinée ⃗ dont la droite d’action rencontre également l’axe. Figure 6 : Poignet d’une porte soumis à une force inclinée dans le plan de la porte Observation : Nous constatons que la force ⃗ ne produit aucun effet de rotation sur la porte. b) Conclusion:  Une force dont la droite d’action est à la fois perpendiculaire et distante de l’axe de rotation, a un effet de rotation sur un solide mobile autour d’un axe fixe.  Une force dont la droite d’action est parallèle à l’axe de rotation a un effet de rotation nul.  Une force dont la droite d’action rencontre l’axe de rotation n’a aucun effet de rotation. 

Importance de la distance de la droite d’action de la force à l’axe de rotation et l’intensité de la force

Expérience : Exerçons successivement deux forces ⃗ et ⃗⃗⃗⃗ d’intensités différentes et perpendiculaires à la porte. Les points d’applications de ces forces sont totalement différents. 9 ⃗⃗⃗⃗ Figure 7 : Mise en évidence de l’importance de la distance de la droite d’action de la force à l’axe de rotation et l’intensité de la force b) Observation : Nous avons pris d1 inférieure à d2, nous constatons que pour faire tourner la porte en même effet, on applique plus de force pour la distance d1 par rapport à celle de la distance d2. Conclusion :  Si la distance entre le point d’application d’une force et l’axe de rotation est petite alors l’intensité de la force soit plus grande pour avoir le même effet de rotation.  Si la distance entre le point d’application d’une force et l’axe de rotation est grande alors l’intensité de la force soit plus petite pour avoir le même effet de rotation.

Moment d’une force par rapport à un axe 

Les expériences précédentes montrent que l’effet dynamique d’une force sur un corps introduit une nouvelle grandeur physique invariante à chaque équilibre : c’est « le moment d’une force constante par rapport à un axe fixe ». Ce qui importe, cette grandeur caractérise l’effet de la force sur un solide capable de tourner autour d’un axe. Certes, deux forces agissent sur un solide et ayant le même moment par rapport à l’axe auront le même effet. 

Définition de la grandeur moment d’une force

L’intensité du moment d’une force orthogonale par rapport à l’axe considéré est égale au produit de son intensité par la distance de l’axe à la droite d’action de la force. Notation: │M/Δ ( ⃗)│ 𝐅𝟏 ⃗⃗⃗⃗ 10 m (équation I ) N Avec – MΔ( ⃗) : Moment de la force ⃗ par rapport à l’axe (Δ); – F : Intensité de la force ⃗ ; – d : Distance entre la droite d’action de la force ⃗ et l’axe de rotation (Δ). La distance « d » s’appelle bras de levier. Dans le système international, cette grandeur se mesure en newton-mètre (Nm) ATTENTIONS:  Il faut toujours préciser l’axe de rotation.  Ne pas confondre les unités newton-mètre Nm et mN un sous multiple de Newton.  Le bras de levier est la longueur du segment perpendiculaire à la fois à la droite d’action de la force et à l’axe de rotation. 

Détermination de la longueur du bras de levier

Le bras de levier d est la perpendiculaire abaissée depuis le centre de rotation sur la droite d’action de la force. Le pouvoir de « rotation » dépend donc de la position relative du point d’application de la force et du centre de rotation considéré. Figure 8 : Bras de levier d Le calcul de cette valeur peut se faire la trigonométrie dans le triangle rectangle ABC d’hypoténuse AB= l. │M/Δ ( ) │= F x d 11 Figure 9 : Détermination du bras de levier Le bras de levier d peut être déterminé connaissant : La distance l entre le point d’application de la force et l’axe de rotation. L’angle α formé par la droite d’action de la force et la droite passant par l’axe de rotation et le point d’application de la force. Ce qui permet d’établir d = l · sin(α) Si l’angle formé est de 90°, alors sin (90°) = 1. L’expression du moment d’une force est réduite à l’équation I. 

Moment d’une force orthogonale par rapport à un axe 

Expérience : Considérons une règle AB, munie de plusieurs trous permettant d’accrocher un corps (C) de masse donnée et un dynamomètre en différents points. La règle AB est mobile autour d’un axe horizontal passant par son milieu O. Vers l’extrémité B de la règle suspendons le corps (C). Entraînée par le poids du corps (C), la règle prend alors la position verticale. Pour amener la règle dans sa position horizontale, on exerce sur sa partie OA, une force ⃗⃗⃗⃗ verticale orientée vers le bas. Nous pouvons mesurer l’intensité de F ’ au moyen d’un dynamomètre. A O B M Figure 10 : Force perpendiculaire à l’axe  Observation : A C B 12 Nous observons que plus la distance d’= OM est grande, plus la force ⃗⃗⃗⃗ a une intensité petite mais le produit F’xd’ reste constant. Nm N m

 Moment d’une force non orthogonale par rapport à un axe 

Expérience : Cas d’une force non orthogonale ou inclinée d’un angle quelconque θ : Si nous inclinons la droite d’action de la force sans changer son point d’application, celle-ci doit être plus forte en intensité pour produire le même effet. Soit F sa nouvelle intensité et d la nouvelle distance de l’axe de rotation à la droite d’action de ⃗. A O B Figure 11 : Force quelconque inclinée d’un angle bien définie  Observation : Nous observons que le produit Fxd possède la même valeur que lorsque la force est perpendiculaire à (OA) en M. La force ⃗ peut tourner la réglette dans un sens. Elle admet un moment par rapport à cet axe, mais son bras de levier pose un problème.  Détermination d’un moment d’une force non orthogonale par rapport à un axe. Décomposer la force ⃗ en deux forces orthogonales dont la droite d’action de l’une est parallèle à l’axe et la droite d’action de l’autre coupe l’axe.